Question

10、證明：方程x⁴+y⁴+2=5z沒(méi)有整數(shù)解．

Answer 1

分析：由已知，先由任意整數(shù)x除以5（以5為模）都有x≡0，±1，±2（mod5），得出對(duì)任意整數(shù)x，x⁴≡0，1（mod5），則對(duì)任意整數(shù)y，y⁴≡0，1（mod5），所以推出x⁴+y⁴+2≡2，3，4（mod5），從而得證．

解答：證明：對(duì)于任一整數(shù)x，以5為模，有
x≡0，±1，±2（mod5），
x²≡0，1，4（mod5），
x⁴≡0，1，1（mod5），
即對(duì)任一整數(shù)x，x⁴≡0，1（mod5）．
同樣，對(duì)于任一整數(shù)y，y⁴≡0，1（mod5），
所以x⁴+y⁴+2≡2，3，4（mod5），
從而所給方程無(wú)整數(shù)解．

點(diǎn)評(píng)：同余是處理不定方程的基本方法，但這種方法也非常靈活，關(guān)鍵在于確定所取的模（本例我們?nèi)∧?），這往往應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)來(lái)確定．