Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），直線與軸相交于點(diǎn)，連結(jié)，拋物線從點(diǎn)沿方向平移，與直線交于點(diǎn)，頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．

（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

①用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo)；

②當(dāng)為何值時(shí)，線段最短；

（3）當(dāng)線段最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)，使△ 的面積與△的面積相等，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m2-2m+4）．1；（3）Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），Q3（2，3）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式．

（2）①由于M點(diǎn)在直線OA上，可根據(jù)直線OA的解析式來(lái)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镸點(diǎn)是平移后拋物線的頂點(diǎn)，因此可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式，P的橫坐標(biāo)為2，將其代入拋物線的解析式中即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

②PB的長(zhǎng)，實(shí)際就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來(lái)求出PB最短時(shí)，對(duì)應(yīng)的m的值．

（3）根據(jù)（2）中確定的m值可知：M、P點(diǎn)的坐標(biāo)都已確定，因此AM的長(zhǎng)為定值，若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等，那么Q點(diǎn)到AM的距離和P到AM的距離應(yīng)該相等，因此可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)Q在直線OA下方時(shí)，可過(guò)P作直線OA的平行線交y軸于C，那么平行線上的點(diǎn)到OA的距離可相等，因此Q點(diǎn)必落在直線PC上，可先求出直線PC的解析式，然后利用拋物線的解析式，看得出的方程是否有解，如果沒(méi)有則說(shuō)明不存在這樣的Q點(diǎn)，如果有解，得出的x的值就是Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．②當(dāng)Q在直線OA上方時(shí)，同①類似，可先找出P關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D，過(guò)D作直線OA的平行線交y軸于E，那么直線DE上的點(diǎn)到AM的距離都等于點(diǎn)P到AM上的距離，然后按①的方法進(jìn)行求解即可．

（本題也可通過(guò)以AP為底，找出和點(diǎn)M到AP的距離相等的兩條直線，然后聯(lián)立拋物線的解析式進(jìn)行求解即可）．

試題解析：（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx，

∵A（2，4），

∴2k=4，

∴k=2，

∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x．

（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，且在線段OA上移動(dòng)，

∴y=2m（0≤m≤2）．

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2m）．

∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x-m）2+2m．

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=（2-m）2+2m=m2-2m+4（0≤m≤2）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，m2-2m+4）．

②∵PB=m2-2m+4=（m-1）2+3，

又∵0≤m≤2，

∴當(dāng)m=1時(shí)，PB最短．

（3）當(dāng)線段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為y=（x-1）2+2

即y=x2-2x+3．

假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q，使S△QMA=S△PMA．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x2-2x+3）．

①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過(guò)P作直線PC∥AO，交y軸于點(diǎn)C，

∵PB=3，AB=4，

∴AP=1，

∴OC=1，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，-1）．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，3），

∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1．

∵S△QMA=S△PMA，

∴點(diǎn)Q落在直線y=2x-1上．

∴x2-2x+3=2x-1．

解得x1=2，x2=2，

即點(diǎn)Q（2，3）．

∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合．

∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q（2，3），使△QMA與△APM的面積相等．

②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，

作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱稱點(diǎn)D，過(guò)D作直線DE∥AO，交y軸于點(diǎn)E，

∵AP=1，

∴EO=DA=1，

∴E、D的坐標(biāo)分別是（0，1），（2，5），

∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1．

∵S△QMA=S△PMA，

∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上．

∴x2-2x+3=2x+1．

解得：x1=2+，x2=2-．

代入y=2x+1得：y1=5+2，y2=5-2．

∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2）使△QMA與△PMA的面積相等．

綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)Q1（2+，5+2），Q2（2-，5-2），Q3（2，3），使△QMA與△PMA的面積相等．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．