Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上，OA=8

2

cm，OC=8cm，現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C同時(shí)出發(fā)，P在線段OA上沿OA方向以每秒

2

cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)、設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面積S；
（2）求證：四邊形OPBQ的面積是一個(gè)定值，并求出這個(gè)定值；
（3）當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，拋物線y=

1

4

x²+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，過線段BP上一動(dòng)點(diǎn)M作y軸的平行線交拋物線于N，當(dāng)線段MN的長取最大值時(shí)，求直線MN把四邊形OPBQ分成兩部分的面積之比．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度，可用t表示出CQ、OP的長，進(jìn)而根據(jù)OC的長求出OQ的表達(dá)式，即可由三角形的面積公式得到S、t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）四邊形OPBQ的面積，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面積差求得，進(jìn)而可得到所求的定值；
（3）若△OPQ與△PAB和△QPB相似，那么△QPB必為直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以這三個(gè)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根據(jù)相似三角形得到的比例線段求出t的值，進(jìn)而可確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出拋物線和直線BP的解析式；可設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，根據(jù)直線BP和拋物線的解析式，求出M、N的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可得到關(guān)于MN的長與m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值及對應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)；設(shè)BQ與直線MN的交點(diǎn)為H，根據(jù)M點(diǎn)的坐標(biāo)和直線BQ的解析式即可求出H點(diǎn)的坐標(biāo)，也就能得到MH的長，以MH為底，B、M橫坐標(biāo)差的絕對值為高，可求出△BHM的面積，進(jìn)而可根據(jù)四邊形OPBQ的面積求出五邊形OPMHQ的面積，由此可求出它們的比例關(guān)系式．

解答：（1）解：∵CQ=t，OP=

2

t，CO=8，
∴OQ=8-t．
∴S_△OPQ=

1

2

(8-t)•

2

t=-

2

2

t2+4

2

t（0＜t＜8）；（3分）

（2）證明：∵S_{四邊形OPBQ}=S_矩形ABCO-S_△CBQ-S_△PAB
=8×8

2

-

1

2

×8

2

t-

1

2

×8×(8

2

-

2

t)=32

2

；（5分）
∴四邊形OPBQ的面積為一個(gè)定值，且等于32

2

；（6分）

（3）解：當(dāng)△OPQ與△PAB和△QPB相似時(shí)，△QPB必須是一個(gè)直角三角形，依題意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ與AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ，
∴根據(jù)相似三角形的對應(yīng)關(guān)系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP（7分），
∴

OQ

AP

=

OP

AB

，
∴

8-t

8 2 - 2 t

=

2 t

8

，
解得：t₁=4，t₂=8
經(jīng)檢驗(yàn)：t=4是方程的解且符合題意，t=8不是方程的解，舍去；（從邊長關(guān)系和速度考慮），
∴QO=4，
∴直線QB的解析式為：y=

2

4

x+4，
此時(shí)P（4

2

，0）；
∵B（8

2

，8）且拋物線y=

1

4

x2+bx+c經(jīng)過B、P兩點(diǎn)，
∴拋物線是y=

1

4

x2-2

2

x+8，直線BP是：y=

2

x-8（8分）．
設(shè)M（m，

2

m-8）、N（m，

1

4

m2-2

2

m+8）．
∵M(jìn)在BP上運(yùn)動(dòng)，
∴4

2

≤m≤8

2

∵y1=

1

4

x2-2

2

x+8與y2=

2

x-8交于P、B兩點(diǎn)且拋物線的頂點(diǎn)是P；
∴當(dāng)4

2

≤m≤8

2

時(shí)，y₁＜y₂（9分）
∴MN=|y₁-y₂|
=|

1

4

m²-2

2

m+8-（

2

m-8）|
=

2

m-8-（

1

4

m²-2

2

m+8）
=

2

m-8-

1

4

m²+2

2

m-8
=-

1

4

m²+3

2

m-16
=-

1

4

(m-6

2

)2+2，
∴當(dāng)m=6

2

時(shí)，MN有最大值是2；
∴設(shè)MN與BQ交于H點(diǎn)則M(6

2

，4)，H(6

2

，7)；
∴S_△BHM=

1

2

×3×2

2

=3

2

∴S_△BHM：S_{五邊形QOPMH}=3

2

：(32

2

-3

2

)=3：29
∴當(dāng)MN取最大值時(shí)兩部分面積之比是3：29．（10分）

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．