Question

【附加題】閱讀下面的材料，解答后面給出的問題：
兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如

a

與

a

，

2

+1與

2

-1．
（1）請你再寫出兩個二次根式，使它們互為有理化因式：

 

．
這樣，化簡一個分母含有二次根式的式子時，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：

2

3

=

2 • 3

3 • 3

=

6

3

.

2

3- 3

=

2 (3+ 3 )

(3- 3 )(3+ 3 )

=

3 2 + 6

9-3

=

3 2 + 6

6

．
（2）請仿照上面給出的方法化簡下列各式：
①

3-2 2

3+2 2

；②

1-b

1- b

(b≠1)；
（3）化簡

3

5 - 2

時，甲的解法是：

3

5 - 2

=

3( 5 + 2 )

( 5 - 2 )( 5 + 2 )

=

5

+

2

，乙的解法是：

3

5 - 2

=

( 5 + 2 )( 5 - 2 )

5 - 2

=

5

+

2

，以下判斷正確的是（　�。�
A、甲的解法正確，乙的解法不正確B、甲的解法不正確，乙的解法正確
C、甲、乙的解法都正確D、甲、乙的解法都不正確
（4）已知a=

1

5 -2

，b=

1

5 +2

，則

a2+b2+7

的值為（　�。�
A、5    B、6    C、3     D、4．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平方差公式，選擇兩個互為有理化的因式；
（2）可分子、分母同乘以分母的有理化因式，也可以將分子因式分解；
（3）這兩種解法都正確，反映了分母有理化的兩種方法；
（4）先將a、b分母有理化，再計算a²+b²的值，代入二次根式即可．

解答：解：（1）化為有理化因式的二次根式為

5

+

2

與

5

-

2

，答案不唯一；

（2）①

3-2 2

3+2 2

=

(3-2 2 )2

(3+2 2 )(3-2 2 )

=17-12

2

；
②

1-b

1- b

=

(1+ b )(1- b )

1- b

=1+

b

；

（3）甲將分子、分母中同乘以分母的有理化因式，正確，
乙將分子分解因式，再約分，正確，
這兩種方法都適合于二次根式的化簡，故選C；

（4）∵a=

1

5 -2

=

5 +2

( 5 -2)( 5 +2)

=

5

+2
b=

1

5 +2

=

5 -2

( 5 +2)( 5 -2)

=

5

-2
∴a²+b²=（

5

+2）²+（

5

-2）²=18
則

a2+b2+7

=

18+7

=5．故選A．

點評：本題考查了二次根式的分母有理化運算的方法，二次根式的運算問題．本題可先計算a²+b²，再代入二次根式中進行計算．