Question

【題目】綜合與探究：

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，點D是等邊△ABC邊BA上一動點（點D與點B不重合），連結(jié)DC，以DC為邊在CD上方作等邊△DCE，連結(jié)AE．你能發(fā)現(xiàn)線段AE與BD之間的數(shù)量關(guān)系嗎？ 證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

（2）類比猜想：如圖2，當(dāng)動點D運動至等邊△ABC邊BA的延長線上時，其余條件不變，猜想：（1）中的結(jié)論是否成立，不用說明理由．

（3）拓展探究：如圖3，當(dāng)動點D在等邊△ABC邊BA上運動時（點D與點B不重合），連結(jié) DC，以DC為邊在CD上方和下方分別作等邊△DCE和等邊△DCE′，連結(jié)AE、BE′，探究：AE、BE′與AB有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），證明見解析；（2）成立；（3），理由見解析

【解析】

（1）證明△BCD≌△ACE（SAS）可得結(jié)論．
（2）證明△BCD≌△ACE（SAS）可得結(jié)論．
（3）由（1）知，同理可證：，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（1）

證明：∵和都是等邊三角形，

∴，，，，

∴，即，

在和中，

∴，

∴．

（2）仍然成立．

理由：∵△ABC，△DCE都是等邊三角形，
∴CB=CA，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴

（3）

理由：由（1）知，則，

同理可證：，則，

∴．