Question

如圖，已知點(diǎn)A（-12，0），B（3，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且∠ACB=90°．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求Rt△ACB的角平分線CD所在直線l的解析式；
（3）在l上求出滿足S_△PBC=

1

2

S_△ABC的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）已知點(diǎn)M在l上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以O(shè)、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在．請說明理由．

Answer 1

（1）由△AOC∽△COB，可得OC²=OA×OB=36，
∴OC=6
又∵點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，6）；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E．設(shè)DB的長為m．
在Rt△DEB中，DE=DB•sinB=m•

AC

AB

=

2 5

5

m，BE=DB•cosB=

5

5

m
在Rt△DEC中，∠DCE=45°，于是CE=DE=

2 5

5

m
由CE+BE=BC，即

2 5

5

m+

5

5

m=3

5

，解得m=5
又由OA＞OB，知點(diǎn)D在線段OA上，OB=3，所以O(shè)D=2，故點(diǎn)D（-2，0）；
設(shè)直線l的解析式為：y=kx+b，把C（0，6）和D（-2，0）代入y=kx+b中，
得

b=6 -2k+b=0

，
解得

k=3 b=6

．
故直線l的解析式為：y=3x+6；

（3）①取AB的中點(diǎn)F（-4.5，0），過點(diǎn)F作BC的平行線交直線l于點(diǎn)P₁，連接CF．
易知S_△P1BC=S_△FBC=S_△ACB，∴點(diǎn)P₁為符合題意的點(diǎn)．
直線P₁F可由直線BC向左平移BF個單位得到（即向左平移7.5個單位）
而直線BC的解析式為y=-2x+6，

即直線P₁F的解的式為y=-2（x+7.5）+6即
y=-2x-9，由

y=-2x-9 y=3x+6

得點(diǎn)P₁（-3，-3）
②在直線l上取點(diǎn)P₂使CP₂=CP₁，此時有S_△P2BC=S_△P1BC=

1

2

S_△ACB，∴點(diǎn)符P₂合題意．
由CP₂=CP₁，可得點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（3，15），∴點(diǎn)P（-3，-3）或P（3，15）可使S_△PBC=

1

2

S_△ABC；

（4）當(dāng)OC是菱形的對角線時，OC的中點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3），則把y=3代入l的解析式得：3x+6=3，
解得：x=-1．
則M的坐標(biāo)是（-1，3），N的坐標(biāo)是（1，3）；
當(dāng)OC是菱形的一條邊時，點(diǎn)N的坐標(biāo)是（-

18

5

，

6

5

），（

3 10

5

，

9 10

5

），（-

3 10

5

，-

9 10

5

）．
故N的坐標(biāo)是（1，3）或（-

18

5

，

6

5

）或（

3 10

5

，

9 10

5

）或（-

3 10

5

，-

9 10

5

）．