Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD并延長(zhǎng)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，∠CDE=∠CAD．
（1）求證：CD²=AC•EC；
（2）判斷AC與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若AE=EC，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理證明；
（2）證明BA⊥AC，證明結(jié)論；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD=$\sqrt{2}$CE，證明△CDE∽△CAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）證明：∵∠CDE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CD}$，
∴CD²=CA•CE；
（2）AC與⊙O相切，
證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵∠ODB=∠CDE，∠CDE=∠CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠BAD=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC與⊙O相切；
（3）解：∵AE=EC，
∴CD²=CA•CE=（AE+CE）•CE=2CE²，
∴CD=$\sqrt{2}$CE，
∵△CDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}=\frac{CE}{{\sqrt{2}CE}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵∠ADE=180°-∠ADB=90°，∠B=∠CAD，
∴tan B=tan∠CAD=$\frac{DE}{AD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是圓的知識(shí)的綜合應(yīng)用，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)的判定定理、相似三角形的判定和性質(zhì)定理、銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．