Question

（2013•荊州）如圖，某個體戶購進(jìn)一批時令水果，20天銷售完畢．他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)可繪制的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖甲所示，銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖乙所示．

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求出第10天和第15天的銷售金額；
（3）若日銷售量不低于24千克的時間段為“最佳銷售期”，則此次銷售過程中“最佳銷售期”共有多少天？在此期間銷售單價最高為多少元？

Answer 1

分析：（1）分兩種情況進(jìn)行討論：①0≤x≤15；②15＜x≤20，針對每一種情況，都可以先設(shè)出函數(shù)的解析式，再將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解；
（2）日銷售金額=日銷售單價×日銷售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之間，當(dāng)10≤x≤20時，設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，由點(diǎn)（10，10），（20，8）在p=mx+n的圖象上，利用待定系數(shù)法求得p與x的函數(shù)解析式，繼而求得10天與第15天的銷售金額；
（3）日銷售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式-6x+120≥24，得x≤16，則求出“最佳銷售期”共有5天；然后根據(jù)p=-

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x+12（10≤x≤20），利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出在此期間銷售時單價的最高值．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)0≤x≤15時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為y=k₁x，
∵直線y=k₁x過點(diǎn)（15，30），
∴15k₁=30，解得k₁=2，
∴y=2x（0≤x≤15）；
②當(dāng)15＜x≤20時，設(shè)日銷售量y與銷售時間x的函數(shù)解析式為y=k₂x+b，
∵點(diǎn)（15，30），（20，0）在y=k₂x+b的圖象上，
∴

15k2+b=30 20k2+b=0

，解得：

k2=-6 b=120

，
∴y=-6x+120（15＜x≤20）；
綜上，可知y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：
y=

2x(0≤x≤15) -6x+120(15＜x≤20)

；

（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之間，
∴當(dāng)10≤x≤20時，設(shè)銷售單價p（元/千克）與銷售時間x（天）之間的函數(shù)解析式為p=mx+n，
∵點(diǎn)（10，10），（20，8）在p=mx+n的圖象上，
∴

10m+n=10 20m+n=8

，解得：

m=- 1 5 n=12

，
∴p=-

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x+12（10≤x≤20），
當(dāng)x=10時，p=10，y=2×10=20，銷售金額為：10×20=200（元），
當(dāng)x=15時，p=-

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×15+12=9，y=30，銷售金額為：9×30=270（元）．
故第10天和第15天的銷售金額分別為200元，270元；

（3）若日銷售量不低于24千克，則y≥24．
當(dāng)0≤x≤15時，y=2x，
解不等式2x≥24，得x≥12；
當(dāng)15＜x≤20時，y=-6x+120，
解不等式-6x+120≥24，得x≤16，
∴12≤x≤16，
∴“最佳銷售期”共有：16-12+1=5（天）；
∵p=-

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x+12（10≤x≤20），-

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＜0，
∴p隨x的增大而減小，
∴當(dāng)12≤x≤16時，x取12時，p有最大值，此時p=-

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×12+12=9.6（元/千克）．
故此次銷售過程中“最佳銷售期”共有5天，在此期間銷售單價最高為9.6元．

點(diǎn)評：此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，有一定難度．解題的關(guān)鍵是理解題意，利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．