Question

如圖，已知正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)O、M、N、A、B、C都是小正方形的頂點(diǎn)．
（1）記向量

OM

=

a

，

ON

=

b

，試在該網(wǎng)格中作向量

BD

=2

a

-2

b

，并計(jì)算|

BD

|；
（2）連接AD，試判斷以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，并證明你的結(jié)論；
（3）連接CD，試判斷∠BDC與∠ACB的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形法則作向量

BD

=2

a

-2

b

；小正方形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度即為所求；
（2）根據(jù)三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例證明相似或?qū)��?yīng)邊成比例，夾角相等來證明相似；
（3）借助于相似三角形（△ABD∽△CBA）的性質(zhì)來計(jì)算．

解答：解：（1）作向量

BD

=2

a

-2

b

；
|

BD

|=2

2

；

（2）相似．
根據(jù)題意得，∠ABD=∠CBA=135°（1分）
AB=2，BD=2

2

，BC=

2

（1分）
∴

AB

BD

=

BC

AB

（1分）
∴△ABD∽△CBA（注：利用三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例證明相似同樣正確）（1分）

（3）經(jīng)計(jì)算得，AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA
又△ABD∽△CBA，
∴∠ADB=∠CAB
∴∠CAD-∠CAB=∠CDA-∠ADB
即∠BAD=∠BDC（2分）
∵∠BAD=∠BCA，
∴∠BDC=∠ACB（1分）
【或：計(jì)算得tan∠BDC=

1

2

，tan∠ACB=tan∠DAB=

1

2

，得證．】

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)．本題的綜合性比較強(qiáng)，但是難度不大，在解題過程中，只要多一份細(xì)心，就會(huì)多一分收獲的．