Question

在下列四種邊長(zhǎng)均為a的正多邊形中：
①正方形；②正五邊形；③正六邊形；④正八邊形；
能與邊長(zhǎng)為a的正三角形作平面鑲嵌的正多邊形有（　　）

• A、4種
• B、3種
• C、2種
• D、1種

Answer 1

分析：分別求出各個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角進(jìn)行判斷即可．

解答：解：正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正方形的每個(gè)內(nèi)角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，∴①能；
正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180°-360°÷5=108°，60m+108n=360°，m=6-

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n，顯然n取任何正整數(shù)時(shí)，m不能得正整數(shù)，故②不能鋪滿；
正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120°，正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°，∵2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360°，③能；
正八邊形的每個(gè)內(nèi)角為：180°-360°÷8=135°，正三角形的每個(gè)內(nèi)角60°，135m+60n=360°，n=6-

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m，顯然m取任何正整數(shù)時(shí)，n不能得正整數(shù)，故不能鋪滿．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角．