Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線y=

12

x

，動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別沿x軸、y軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)．
（1）經(jīng)過(guò)幾秒鐘，直線CD與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)？
（2）設(shè)直線CD與雙曲線相交時(shí)，交點(diǎn)為A、B．當(dāng)△AOB面積等于

7

2

時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)C、D兩點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間t．

Answer 1

分析：（1）利用已知首先求出一次函數(shù)CD的解析式，再將兩函數(shù)聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根的判別式求出即可；
（2）首先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得出x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，再利用S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA，求出t即可．

解答：解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別沿x軸、y軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)．
∴假設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，直線CD與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為：（t，0），D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（0，t），
∴假設(shè)CD所在直線解析式為：y=kx+b，將C，D代入解析式即可；
∴

b=t kt+t=0

，
解得：

b=t k=-1

，
∴y=-x+t，
將兩解析式聯(lián)立，-x+t=

12

x

，
整理得：x²-tx+12=0，
∵直線CD與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴b²-4ac=t²-48=0，
解得：t=4

3

或-4

3

（不合題意舍去）．
∴經(jīng)過(guò)4

3

秒鐘，直線CD與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；

（2）如圖：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
顯然x₁＜x₂，x₁+x₂=t，x₁x₂=12，
S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA=

1

2

t（x₂-x₁）=

1

2

t

(x1+x2) 2-4x1x2

=

1

2

t

t2-48

，
∵S_△ABO=

7

2

，
∴

7

2

=

1

2

t

t2-48

，
整理得：（t²）²-48t²-49=0，
解得：t²=49或-1（不合題意舍去），
∵t≥0，
∴t=7．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及三角形面積和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)三角形面積S_△ABO=S_△ODB-S_△ODA轉(zhuǎn)換三角形面積得出是常用的一種數(shù)學(xué)思想．