Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y= x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ 且經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）①直接寫出點B的坐標；②求拋物線解析式．
（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連接PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．
（3）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①y= 當x=0時，y=2，當y=0時，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由拋物線的對稱性可知：點A與點B關于x=﹣ 對稱，

∴點B的坐標為1，0）．

②∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣4，0），B（1，0），

∴可設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

又∵拋物線過點C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=

∴y= x2 x+2．

（2）

解：設P（m， m2 m+2）．

過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，

∴Q（m， m+2），

∴PQ= m2 m+2﹣（ m+2）

= m2﹣2m，

∵S△PAC= ×PQ×4，

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，

∴當m=﹣2時，△PAC的面積有最大值是4，

此時P（﹣2，3）．

（3）

解：方法一：

在Rt△AOC中，tan∠CAO= 在Rt△BOC中，tan∠BCO= ，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下圖：

①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；

②根據拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC；

③當點M在第四象限時，設M（n， n2 n+2），則N（n，0）

∴MN= n2+ n﹣2，AN=n+4

當 時，MN= AN，即 n2+ n﹣2= （n+4）

整理得：n2+2n﹣8=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=2

∴M（2，﹣3）；

當 時，MN=2AN，即 n2+ n﹣2=2（n+4），

整理得：n2﹣n﹣20=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=5，

∴M（5，﹣18）．

綜上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

方法二：

∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴KAC×KBC=﹣1，

∴AC⊥BC，MN⊥x軸，

若以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，

則 ， ，

設M（2t，﹣2t2﹣3t+2），

∴N（2t，0），

①| |= ，

∴| |= ，

∴2t1=0，2t2=2，

②| |= ，

∴| |=2，∴2t1=5，2t2=﹣3，

綜上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似．

【解析】（1）①先求的直線y= x+2與x軸交點的坐標，然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標；②設拋物線的解析式為y=y=a（x+4）（x﹣1），然后將點C的坐標代入即可求得a的值；（2）設點P、Q的橫坐標為m，分別求得點P、Q的縱坐標，從而可得到線段PQ= m2﹣2m，然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC= ×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值，從而可求得點P的坐標；（3）首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下幾種情況分類討論即可：①當M點與C點重合，即M（0，2）時，△MAN∽△BAC；②根據拋物線的對稱性，當M（﹣3，2）時，△MAN∽△ABC； ④當點M在第四象限時，解題時，需要注意相似三角形的對應關系．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)，還要掌握二次函數的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)的相關知識才是答題的關鍵．