Question

如圖，已知點C在以AB為直徑的⊙O上，點D在AB的延長線上，∠BCD=∠A，過點C作CE⊥AB于E，CE=8，cosD=，則AC的長為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   10
4. D.
   

Answer 1

A
分析：連結OC，在Rt△DCE中利用cosD==，可設DE=4x，則DC=5x，于是CE=3x=8，解得x=得到DE=，DC=，根據(jù)圓周角定理AB為直徑得到∠ACB=90°，利用∠A=∠BCD可得到∠OCD=90°，在Rt△OCD中，根據(jù)cosD===，解得OD=，則OE=OD-DE=6，接著根據(jù)勾股定理計算出OC，然后再次利用勾股定理計算AC．
解答：連結OC，如圖，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠CED=90°，
∴cosD==，
設DE=4x，則DC=5x，
∴CE=3x=8，解得x=，
∴DE=，DC=，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠BCD，
而∠A=∠ACO，
∴∠ACO=∠BCD，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cosD===，解得OD=，
∴OE=OD-DE=-=6，
在Rt△OCE中，OC==10，
∴OA=10，
∴AE=10+6=16，
在Rt△ACE中，AC===8．
故選A．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了圓周角定理和解直角三角形．