Question

在正方形ABCD中，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在對(duì)角線AC的中點(diǎn)P處，將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交線段AB、BC于D′、E兩點(diǎn)．如圖1是旋轉(zhuǎn)三角板后所得到圖形中的1種情況．
（1）三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PF和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖1加以證明；
（2）若將三角板的直角頂點(diǎn)放在對(duì)角線AC上的M處，且AM：MC=2：5，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合如圖2加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，已知△PBD≌△PCE，所以PD=PE．
（2）根據(jù)已知條件，易證四邊形FMHB是矩形，進(jìn)一步可以證得△MDF∽△MHE，所以

MD

ME

=

MF

MH

=2：5．

解答：解：（1）連接PB．
∵四邊形ABCD是正方形，P是AC的中點(diǎn)，
∴CP=PB，BP⊥AC，∠ABP=

1

2

∠ABC=45°，
即∠ABP=∠ACB=45°，
又∵∠FPB+∠BPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠FPB=∠CPE，即△PBF≌△PCE，
∴PD′=PE；

（2）MD：ME=2：5．
過點(diǎn)M作MF⊥AB，MH⊥BC，垂足分別是F、H，
則MH∥AB，MF∥BC，即四邊形BFMH是平行四邊形．
∵∠B=90°，
∴?BFMH是矩形，
即∠FMH=90°，MF=BH，
∵BH：HC=AM：MC=2：5，而HC=MH，
∴

MF

MH

=2：5，
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．因?yàn)椤螰D=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MHE，
∴

MD

ME

=

MF

MH

=2：5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的相似的判定和性質(zhì)，題目典型，是一個(gè)大綜合題，難度較大．