Question

如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸和y軸上，且點A的坐標為（4，0），點C的坐標為（0，2），點P在線段CB上，距離軸3個單位，有一直線y=kx+b（k≠0）經過點P，且把矩形OABC分成兩部分．
（1）若直線又經過x軸上一點D，且把矩形OABC分成的兩部分面積相等，求k和b的值；
（2）若直線又經過矩形邊上一點Q，且把矩形OABC分成的兩部分的面積比為3：29，求點Q坐標．

Answer 1

分析：（1）設出D的坐標為（x，0），由題意求出x=1，所以D的坐標為（1，0），又因為直線y=kx+b（k≠0）經過點P，
P的坐標為（3，2），把D，P的坐標分別代入，解關于k，b的方程組，可得問題答案；
（2）由圖形可知點Q的位置不唯一，可在橫軸上也可在縱軸上，要分別設出，有條件把矩形OABC分成的兩部分的面積比為
3：29，可得關系式，問題解決．

解答：解：（1）設D（x，0），依題意得：
S_矩=4×2=8，P（3，2），
S_{四邊形COAP}=

1

2

×8=4，
S_{四邊形COAP}=

1

2

（x+3）×2=4，
∴x=1．
∴D（1，0）

0=k+b 2=3k+b

，
解得

k=1 b=-1

．

（2）S_△PQ1B=

3

32

×8=

3

4

，
設Q₁（4，y），
S_△PQ1B=

1

2

×1×（2-y₁）=

3

4

，
∴y₁=

1

2

，
∴Q₁（4，

1

2

）．
設Q₂（0，y₂），
∴S_△CQ2P=

1

2

×3×（2-y₂）=

3

4

∴y₂=

3

2

，
∴Q₂（0，

3

2

）
∴Q（4，

1

2

）或（0，

3

2

）．

點評：本題考查了一次函數與幾何圖形（矩形）的面積問題首先要根據題意畫出草圖，結合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積．