Question

（2007•西城區(qū)一模）如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且OC=

4 3

3

，tan∠OAC=

3

3

，將△OAC沿AC翻折使點(diǎn)O落在坐標(biāo)平面內(nèi)的B點(diǎn)處．
（1）求B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P，使以P、A、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由tan∠OAC=

3

3

，OC=

4 3

3

，即可得∠OAC=30°，OA=4，又由將△OAC沿AC翻折使點(diǎn)O落在坐標(biāo)平面內(nèi)的B點(diǎn)處，根據(jù)折疊的性質(zhì)，易得△OAB是等邊三角形，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（3）由B為拋物線頂點(diǎn)，可得OA不可能為梯形的底，然后分別從①當(dāng)OB∥P₁A時(shí)與②當(dāng)OP₂∥BA時(shí)去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵tan∠OAC=

3

3

，
∴∠OAC=30°
∵OC=

4 3

3

，
∴OA=

OC

tan∠OAC

=4，
由△OAC沿AC翻折知，OB⊥AC，
∴∠BOA=60°，∠OAB=2∠OAC=60°，
∴△OAB是等邊三角形，
∴OB=OA=4，
∵x_B=OB•cos∠BOA=2，y_B=OB•sin∠BOA=2

3

，
∴B（2，2

3

）；

（2）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過O、B、A三點(diǎn)，
∴設(shè)其為y=ax²+bx，
∵A（4，0），B（2，2

3

），
將其代入，得

16a+4b=0 4a+2b=2 3

，
解得

a=- 3 2 b=2 3

，
∴y=-

3

2

x²+2

3

x；

（3）若存在點(diǎn)P使四邊形PABO為梯形，
∵B為拋物線頂點(diǎn)，
∴OA不可能為梯形的底，
①當(dāng)OB∥P₁A時(shí)，有∠OAD=60°，
設(shè)AP₁交y軸于點(diǎn)D，
∵OA=4，
∴D（0，-4

3

）
設(shè)過A、D的直線解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

4k+b=0 0k+b=-4 3

，
解得：

k= 3 b=-4 3

，
∴直線AD的解析式為：y=

3

x-4

3

，
∵P₁是二次函數(shù)圖象與直線AD的交點(diǎn)，
∴

y= 3 x-4 3 y=- 3 2 x2+2 3 x

，
解得：

x1=4 y1=0

或

x2=-2 y2=-6 3

，
∵A（4，0），
∴P₁（-2，-6

3

）；
過P₁作PM⊥x軸于M點(diǎn)，則線段P₁M=6

3

，
∴線段P₁A=12，OB=4，
在四邊形P₁ABO中，BO∥AP₁，且BO≠AP₁，
∴四邊形P₁ABO是梯形；
②當(dāng)OP₂∥BA時(shí)，
∵直線AB的解析式為：y=-

3

x+4

3

，
∴直線OP₂的解析式為：y=-

3

x，
∴

y=- 3 x y=- 3 2 x2+2 3 x

，
解得：

x=0 y=0

或

x=6 y=-6 3

，
∵O（0，0），
∴P₂（6，-6

3

），
∴OP₂=

OA2+OP22

=12，
∵AB=4，
∴四邊形P₂ABO是梯形．
綜上：P₁（-2，-6

3

），P₂（6，-6

3

）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．