Question

2．如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．
（1）出發(fā)2秒后，求PQ的長；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘，△PQB能形成等腰三角形？
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（只要直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）可求得AP和BQ，則可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的長；
（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到BP=BQ，可得到關(guān)于t的方程，可求得t；
（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質(zhì)可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）當(dāng)t=2時(shí)，則AP=2，BQ=2t=4，
∵AB=8cm，
∴BP=AB-AP=8-2=6（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得PQ=$\sqrt{B{P}^{2}+B{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{13}$（cm），
即PQ的長為2$\sqrt{13}$cm；
（2）由題意可知AP=t，BQ=2t，
∵AB=8，
∴BP=AB-AP=8-t，
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，則有BP=BQ，即8-t=2t，解得t=$\frac{8}{3}$，
∴出發(fā)$\frac{8}{3}$秒后△PQB能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC=10，
當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，AQ=BC+AC-2t=16-2t，
∴CQ=AC-AQ=10-（16-2t）=2t-6，
∵△BCQ為等腰三角形，
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三種情況，
①當(dāng)BQ=BC=6時(shí)，如圖1，過B作BD⊥AC，
則CD=$\frac{1}{2}$CQ=t-3，在Rt△ABC中，求得BD=$\frac{24}{5}$，

在Rt△BCD中中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²，即6²=（$\frac{24}{5}$）²+（t-3）²，解得t=6.6或t=-0.6＜0（舍去）；
②當(dāng)CQ=BC=6時(shí)，則2t-6=6，解得t=6；
③當(dāng)CQ=BQ時(shí)，則∠C=∠QBC，
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA，
∴∠A=∠QBA，
∴QB=QA，
∴CQ=$\frac{1}{2}$AC=5，即2t-6=5，解得t=5.5；
綜上可知當(dāng)t的值為6.6秒或6秒或5.5秒時(shí)，△BCQ為等腰三角形時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、等積法、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．用時(shí)間t表示出相應(yīng)線段的長，化“動(dòng)”為“靜”是解決這類問題的一般思路，注意方程思想的應(yīng)用．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．