Question

20．如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為BC邊上一動點，連接AD，以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．

（1）如圖1，若AB=AC，∠BAC=90°，當(dāng)點D在線段BC上時（不與點B重合），證明：△ACF≌△ABD
（2）如圖2，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，猜想CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么，并說明理由；
（3）如圖3，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA=45°，點D在線段BC上運動（不與點B重合），試探究CF與BD位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△ABD全等，
（2）先求出∠CAF=∠BAD，然后與①的思路相同求解即可；
（3）過點A作AE⊥AC交BC于E，可得△ACE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=AE，∠AED=45°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD，然后利用“邊角邊”證明△ACF和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠AED，然后求出∠BCF=90°，從而得到CF⊥BD．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
（2）∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠CAF=∠BAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；

（2）如圖，

過點A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{∠CAF=∠EAD}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△AED（SAS），
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)同角的余角相等求出兩邊的夾角相等是證明三角形全等的關(guān)鍵，此類題目的特點是各小題求解思路一般都相同．