Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）以斜邊BC上距離C點(diǎn)2cm的點(diǎn)P為中心，把這個三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，并且DF交AC于點(diǎn)N，EF交AC于點(diǎn)M，則△NMF與△ABC的形狀關(guān)系為

 

；
（2）在（1）的條件下，求旋轉(zhuǎn)后△DEF與△ABC重疊部分的面積S；
（3）以斜邊BC上距離C點(diǎn)xcm的點(diǎn)P為中心（P不是B、C），把這個三角形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，設(shè)△DEF與△ABC重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）相似，由于按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至△DEF，容易得到△ABC∽△PMC∽△NMF，由此即可求解；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)和EF⊥BC于P得到Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ，F(xiàn)P=CP，由勾股定理可求得BC=5cm，而CP=2cm，由△CPM∽△CAB利用對應(yīng)線段成比例求出PM，接著求出FM，再由△FPQ∽△FDE利用相似三角形的性質(zhì)求出PQ，由此即可求出S_△FQP，再由△FNM∽△CAB利用相似三角形的性質(zhì)求出FN和NM，從而得S_△FMN，而重疊部分的面積S=S_△FQP-S_△FNM，由此即可求解；
（3）點(diǎn)P從C點(diǎn)逐漸向B移動時(shí)，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點(diǎn)的三個取值范圍，如圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點(diǎn)．首先求出CP₁的長．對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當(dāng)AN=0時(shí)的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=

5

4

x，MN=

3

20

x，所以NC=NM+MC=

7

5

x，從而AN=AC-NC=4-

7

5

x，由AN=0求出x=

20

7

；對于圖2中點(diǎn)P₂的位置，容易求得P₂C=

16

5

，
①當(dāng)P在CP₁間，即0＜x≤

20

7

時(shí)，由y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM=

1

2

PC•MP-

1

2

FN•NM可以求出函數(shù)解析式；
 ②當(dāng)P在P₁P₂間，即

20

7

＜x≤

16

5

時(shí)，由y=S_△ABC-S_△CPM可以求出函數(shù)解析式；
③當(dāng)P在P₂B間，即

16

5

＜x＜5時(shí)，由y=S_△MPB=

1

2

•（5-x）•

4

3

（5-x）求出函數(shù)解析式．

解答：解：（1）相似；（1分）

（2）∵繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，EF⊥BC于P，從而得Rt△CPM，且Rt△CPM∽Rt△CAB，△CPM≌△FPQ．（2分）
由勾股定理可求得BC=5cm．（3分）
∵CP=2cm，且FP=CP=2cm（旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)線段相等）．（4分）
由△CPM∽△CAB，得PM：AB=PC：AC，即PM：3=2：4，
得PM=

3

2

；FM=FP-PM=2-

3

2

=

1

2

，
由△FPQ∽△FDE得PQ：DE=FP：FD，∴PQ=

3

2

，（6分）
∴S_△FQP=

1

2

FP•PQ=

1

2

•2•

3

2

=

3

2

．（7分）
由△FNM∽△CAB，
得FN：CA=FM：CB，∴FN=

2

5

；同樣，NM：AB=FM：CB，得NM=

3

10

，
從而得S_△FMN=

1

2

FN•NM=

1

2

•

2

5

×

3

10

=

3

50

，（8分）

∴重疊部分的面積S=S_△FQP-S_△FNM
=S_△CMP-S_△FNM=

3

2

-

3

50

=

36

25

；（9分）

（3）點(diǎn)P從C點(diǎn)逐漸向B移動時(shí)，有三種情況，它是由BC上的三段組成的P點(diǎn)的三個取值范圍，
見圖所示，即P在CP₁上、P在P₁P₂上、P在P₂B上這三段．其中的P₁、P₂是兩個特殊的位置：P₁的位置是FD與AB有部分重合；P₂的位置是FE過A點(diǎn)．下面先求出CP₁的長．
對于圖2中的P₁位置，即是下圖1中，當(dāng)AN=0時(shí)的情況．由PC=x及△FNM∽△CPM∽△CAB，可得MC=

5

4

x，
MN=

3

20

x，∴NC=NM+MC=

3

20

x+

5

4

x=

7

5

x，
從而AN=AC-NC=4-

7

5

x，
由AN=0，解得x=

20

7

；（10分）對于圖2中點(diǎn)P₂的位置，容易求得P₂C=

16

5

．（11分）
1當(dāng)P在CP₁間，即0＜x≤

20

7

時(shí)，
y=S_△FPQ-S_△FNM=S_△CPM-S_△FNM
=

1

2

PC•MP-

1

2

FN•NM
=

1

2

x•

3

4

x-

1

2

×

1

5

x•

3

20

x=

9

25

x²，（12分）
②當(dāng)P在P₁P₂間，即

20

7

＜x≤

16

5

時(shí)，y=S_△ABC-S_△CPM=6-

1

2

•x•

3

4

x=6-

3

8

x²；（13分）
③當(dāng)P在P₂B間，即

16

5

＜x＜5時(shí)，y=S_△MPB=

1

2

•（5-x）•

4

3

（5-x）=

2

3

（3-x）²．（14分）
故：當(dāng)0＜x≤

20

7

時(shí)，y=

9

25

x²；
當(dāng)

20

7

＜x≤

16

3

時(shí)，y=6-

3

8

x²；
當(dāng)＜

16

3

x＜5時(shí)，y=

2

3

（3-x）²．

點(diǎn)評：此題分別考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)與判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及解直角三角形等知識，綜合性非常強(qiáng)，要求學(xué)生有很好的基礎(chǔ)知識才能解決這類問題．