Question

27、如圖1，兩個不全等的四邊形ABCD、四邊形CGFE是正方形，連接BG，DE．交DC于H，交CG于K
（1）觀察圖形，①猜想BG與DE之間長度關(guān)系；②猜想BG與DE所在直線的位置關(guān)系，并證明你的猜想．
直接回答：連接四邊形DBEG四邊中點所得四邊形是

正方

形
（2）如圖2，將原題中正方形改為菱形，且∠BCD=∠GCE=90°．則（1）中的①、②的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
直接回答：連接四邊形DBEG四邊中點所得四邊形是

正方

形

（3）如圖3，將原題中正方形改為矩形，且BC=mCG、CD=mCE則（1）中的①、②結(jié)論是否成立？不要證明
直接回答：連接四邊形DBEG四邊中點所得四邊形是

矩

形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，推出∠BCG=∠ECD，根據(jù)SAS證△BCG≌△DCE，得到BG=DE，∠GBC=∠CDE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DOH即可；
（2）根據(jù)正方形的判定證出是正方形，由（1）說明即可；
（3）根據(jù)三角形的中位線定理證出是平行四邊形，根據(jù)對角線垂直證出一個角是直角，即可得出答案．

解答：（1）解：①BG與DE之間長度關(guān)系是BG=DE，②BG與DE所在直線的位置關(guān)系是BG⊥DE，
證明：∵正方形ABCD、EFGC，
∴BC=DC，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，
∴∠BCG=∠ECD，
∴△BCG≌△DCE，
∴BG=DE，∠GBC=∠CDE，
∵∠GBC+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DEG=90°，
∴∠DOH=180°-90°=90°，
∴BG⊥DE．
故答案為：正方．

（2）成立，
證明：∵菱形ABCD、EFGC，
∵∠BCD=∠GCE=90°，
∴菱形ABCD、EFGC是正方形，
由（1）證出BG=DE，BG⊥DE，
∴仍成立．
故答案為：正方．

（3）答：①不成立，②成立，
故答案：矩．

點評：本題主要考查對三角形的中位線定理，正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．