Question

如圖，等邊△ABC中，D為AC上一點，E為BC延長線上一點且AD=CE，連接DB、DE；
（1）求證：DB=DE；
（2）若點D在AC的延長線上，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請畫出圖形，并證明；若不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）過E作EF∥BA交AC的延長線于F點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ACB=60°，AB=AC，則∠F=60°，∠ECF=60°，得到△CEF為等邊三角形，于是EF=CE=CF，
易得AD=EF，AC=DF=AB，根據(jù)三角形全等的判定可得到△ABD≌△FDE，即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)題意畫出圖形，和（1）證明一樣：過E作EF∥BD交AC的延長線于F點，先證明△CEF為等邊三角形，然后證明△ABD≌△FDE即可．

解答：（1）證明：過E作EF∥BA交AC的延長線于F點，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF為等邊三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，
AB=FD，
∠A=∠F，
AD=FE，
∴△ABD≌△FDE，
∴DB=DE；

（2）解：如圖，（1）中的結(jié)論還成立，即有DB=DE．證明如下：
過E作EF∥BA交AC的延長線于F點，
和（1）一樣可證明△CEF為等邊三角形，
∴AD=CE=EF，DF=AC=AB，
易證得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)：有兩個內(nèi)角為60°的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°，三邊都相等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．