Question

如圖，已知AC是⊙O的弦，AB為⊙0的直徑，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，∠A=∠D=30°
（1）求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）當(dāng)BD=5時(shí)，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OC，
∵∠A=30°，
∴∠COD=2∠A=2×30°=60°，
∵∠D=30°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是○O的半徑．
∴CD是⊙O的切線(xiàn)；

（2）解：由（1）得：∠OCD=90°，
在直角△OCD中，
∵∠D=30°，
∴OD=2OC，
∵OC=OB，
∴OD=2OB，
∴OB=BD=5，
∴⊙O的半徑是5．
分析：（1）連接OC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)，證得∠OCD=90°，即可證得CD是圓的切線(xiàn)；
（2）根據(jù)直角三角形有一個(gè)角是30度，30度的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可證得OB=BD．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的判定定理，以及直角三角形的性質(zhì)，證明切線(xiàn)常用的方法是根據(jù)切線(xiàn)的判定定理轉(zhuǎn)化為證明垂直關(guān)系．