Question

【題目】如圖1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ABC的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上.

(1)求證AE2+AD2=2AC2 ；

(2)如圖2，過點(diǎn)C作CO垂直AB于0點(diǎn)并延長交DE于點(diǎn)F，請確定線段AE、AF、DF間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF2=AE2+DF2，證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ACE≌△BCD，就可以得出AE=BD，∠E=∠BDC，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠ADB=90°，由勾股定理就可以得出結(jié)論．

(2)連接BD、BF，由(1)可知∠FDB=90°,可得BF2=DF2+BD2=DF2+AE2, 又因為AC=BC，CO⊥AB，所以CF垂直平分AB，所以AF=BF，即可得出線段AE、AF、DF間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖，連接BD,

因為∠1+∠2=∠2+∠3=90°，所以∠1=∠3.

又因為CA=CB，CE=CD，所以△ACE≌△BCD(SAS),

所以BD=AE，∠BDC=∠E=45°,

所以∠CDE=45°,

所以∠ADB=45°+45°=90°,

所以AD2+BD2=AB2,即AD2+AE2=AB2.

又因為在Rt△ABC中，∠ACB=90°,可得AB2=AC2+BC2=2AC2,所以AE2+AD2=2AC2

(2)連接BD、BF，AF2=AE2+DF2，

在Rt△FDB中，∠FDB=90°,可得BF2=DF2+BD2=DF2+AE2,又因為AC=BC，CO⊥AB，所以CF垂直平分AB，所以AF=BF，所以AF2=AE2+DF2.