Question

將一張矩形紙片沿對角線剪開（如圖1），得到兩張三角形紙片△ABC、△DEF（如圖2），量得他們的斜邊長為6cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，且點(diǎn)A、C、E、F在同一條直線上，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合．△ABC保持不動，OB為△ABC的中線．現(xiàn)對△DEF紙片進(jìn)行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決．
（1）將圖3中的△DEF沿CA向右平移，直到兩個三角形完全重合為止．設(shè)平移距離CE為x（即CE的長），求平移過程中，△DEF與△BOC重疊部分的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（2）△DEF平移到E與O重合時（如圖4），將△DEF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中△DEF的斜邊EF交△ABC的BC邊于G，求點(diǎn)C、O、G構(gòu)成等腰三角形時，△OCG的面積；
（3）在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，△DEF的邊EF、DE分別交線段BC于點(diǎn)G、H（不與端點(diǎn)重合）．求旋轉(zhuǎn)角∠COG為多少度時，線段BH、GH、CG之間滿足GH²+BH²=CG²，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)0＜x≤3時如圖1所示：
∵DE∥AB，∠ABC=90°，
∴∠CME=90°，
在Rt△CME中，∠MCE=30°，
CE=x，
則，
∴，
當(dāng)3＜x≤6時如圖2所示，
∵DE∥AB，∠BAC=60°，
∴∠DEC=60°，
又∵在Rt△ABC中，BO為斜邊的中線，
∴BO=AO，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴△OME為正△，
∴，
綜上


（2）若CG=CO=3cm（如圖3所示），過G點(diǎn)作GH⊥AC于H
在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=cm，
∴S_△CGO=CO×GH=×3×=cm²，
若GC=GO（如圖4所示），過G點(diǎn)作GH⊥CO于H，
∴CH=HO=cm，

在Rt△CGH中，∠BCA=30°，cm，
∴cm²，
若OG=CO=3cm（如圖5所示），
在Rt△ABC中，BO為斜邊的中線，BO=CO，
則此時點(diǎn)B與點(diǎn)G重合，
∴，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，
∴AB=3cm，BC=3cm，
cm²；

（3）解：旋轉(zhuǎn)45°時，即∠COG=45°滿足GH²+BH²=CG²．
理由如下：
過H作MH⊥CB于H，使得MH=BH，連接GM、OM．
∵BO是△ABC的中線，且∠ABC=90°，
∴OC=OB，
∴∠C=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠COG=45°，∠FOD=60°，
∴∠BOD=15°，
∵∠CBO=30°，
∴∠CHO=45°，
∴∠BHO=180°-45°=135°，
∴∠MHO=∠CHO+∠MHC=45°+90°=135°，
∴△BHO≌△MHO（SAS），
∴MO=BO，
∴∠BOD=∠MOH=15°，
∴∠MOG=∠DOF-∠MOD=60°-15°=45°，
∴∠MOG=∠COG=45°，
∴△COG≌△MOG（SAS），
∴CG=MG，
在Rt△MHG中，MH²+GH²=GM²，
∴BH²+GH²=CG²，
分析：（1）根據(jù)△DEF與△BOC重疊部分的面積S為三角形與四邊形時分別得出S與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量的取值范圍；
（2）利用△OCG的面積等于△COB面積，進(jìn)而得出與△ABC的關(guān)系求出即可；
（3）利用全等三角形的判定得出△COG≌△MOG，利用勾股定理逆定理得出即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定以及勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識，題目中運(yùn)用了分類討論思想這是數(shù)學(xué)中重要思想同學(xué)們應(yīng)掌握不要漏解．