Question

將一張矩形紙片沿對角線剪開（如圖1），得到兩張三角形紙片△ABC、△DEF（如圖2），量得他們的斜邊長為6cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，且點A、C、E、F在同一條直線上，點C與點E重合．△ABC保持不動，OB為△ABC的中線．現對△DEF紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決．
（1）將圖3中的△DEF沿CA向右平移，直到兩個三角形完全重合為止．設平移距離CE為x（即CE的長），求平移過程中，△DEF與△BOC重疊部分的面積S與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（2）△DEF平移到E與O重合時（如圖4），將△DEF繞點O順時針旋轉，旋轉過程中△DEF的斜邊EF交△ABC的BC邊于G，求點C、O、G構成等腰三角形時，△OCG的面積；
（3）在（2）的旋轉過程中，△DEF的邊EF、DE分別交線段BC于點G、H（不與端點重合）．求旋轉角∠COG為多少度時，線段BH、GH、CG之間滿足GH²+BH²=CG²，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據△DEF與△BOC重疊部分的面積S為三角形與四邊形時分別得出S與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（2）利用△OCG的面積等于△COB面積，進而得出與△ABC的關系求出即可；
（3）利用全等三角形的判定得出△COG≌△MOG，利用勾股定理逆定理得出即可．

解答：解：（1）當0＜x≤3時如圖1所示：
∵DE∥AB，∠ABC=90°，
∴∠CME=90°，
在Rt△CME中，∠MCE=30°，
CE=x，
則EM=

1

2

x，CM=

3

2

x，
∴S△CME=

1

2

•EM•CM=

1

2

×

1

2

x×

3

2

x=

3

8

x2，
當3＜x≤6時如圖2所示，
∵DE∥AB，∠BAC=60°，
∴∠DEC=60°，
又∵在Rt△ABC中，BO為斜邊的中線，
∴BO=AO，
∴∠BOA=∠BAO=60°，
∴△OME為正△，
∴S四邊形CNMO=S△CNE-S△OME=

3

8

x2-

3

4

(x-3)2=-

3

8

x2+

3 3

2

x-

9

4

3

，
綜上S=

3 8 x2(0＜x≤3) - 3 8 x2+ 3 3 2 x- 9 4 3 (3＜x≤6)

（2）若CG=CO=3cm（如圖3所示），過G點作GH⊥AC于H
在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=

1

2

CG=

3

2

cm，
∴S_△CGO=

1

2

CO×GH=

1

2

×3×

3

2

=

9

4

cm²，
若GC=GO（如圖4所示），過G點作GH⊥CO于H，
∴CH=HO=

1

2

CO=

3

2

cm，

在Rt△CGH中，∠BCA=30°，GH=

3

2

cm，
∴S△CGO=

1

2

•CO•GH=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

cm²，
若OG=CO=3cm（如圖5所示），
在Rt△ABC中，BO為斜邊的中線，BO=CO，
則此時點B與點G重合，
∴S△CGO=S△COB=

1

2

S△ABC，
在Rt△ABC中，∠BCA=30°，
∴AB=3cm，BC=3

3

cm，
S△CGO=S△COB=

1

2

S△ABC=

1

2

×

1

2

•AB•BC=

1

2

×

1

2

×3×3

3

=

9 3

4

cm²；

（3）解：旋轉45°時，即∠COG=45°滿足GH²+BH²=CG²．
理由如下：
過H作MH⊥CB于H，使得MH=BH，連接GM、OM．
∵BO是△ABC的中線，且∠ABC=90°，
∴OC=OB，
∴∠C=∠CBO=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠COG=45°，∠FOD=60°，
∴∠BOD=15°，
∵∠CBO=30°，
∴∠CHO=45°，
∴∠BHO=180°-45°=135°，
∴∠MHO=∠CHO+∠MHC=45°+90°=135°，
∴△BHO≌△MHO（SAS），
∴MO=BO，
∴∠BOD=∠MOH=15°，
∴∠MOG=∠DOF-∠MOD=60°-15°=45°，
∴∠MOG=∠COG=45°，
∴△COG≌△MOG（SAS），
∴CG=MG，
在Rt△MHG中，MH²+GH²=GM²，
∴BH²+GH²=CG²，

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及全等三角形的判定以及勾股定理逆定理的應用等知識，題目中運用了分類討論思想這是數學中重要思想同學們應掌握不要漏解．