Question

已知關于x的方程：（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，
（1）求k的取值范圍；
（2）如果x₁=-2是原方程的一個實數根，求k的值及另一個根x₂；
（3）是否存在實數k，使方程的兩個實數根互為相反數？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂．得出其判別式△＞0，可解得k的取值范圍；
（2）將已知根代入求得k值，然后代入得到方程，然后求解即可；
（3）假設存在兩根的值互為相反數，根據根與系數的關系，列出對應的不等式即可解的k的值．

解答：解：（1）方程（k-1）x²+（2k-3）x+k+1=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，
可得k-1≠0，
∴k≠1且△=-12k+13＞0，
可解得k＜

13

12

且k≠1；

（2）∵x₁=-2是原方程的一個實數根，
∴4（k-1）-2（2k-3）+k+1=0
解得：k=-3
∴方程為：-4x²-9x-2=0
解得：x=-2或x=

1

4

，
∴k的值為-3，另一根為

1

4

；

（3）假設存在兩根的值互為相反數，設為 x₁，x₂，
∵x₁+x₂=0，
∴-

2k-3

k-1

=0，
∴k=

3

2

，
又∵k＜

13

12

且k≠1，
∴k不存在．

點評：本題主要考查了根與系數的關系，屬于基礎題，關鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．