Question

已知關于x的方程3x²-4x•sinα+2（1-cosα）=0有兩個不相等的實數(shù)根，α為銳角，那么α的取值范圍是

 

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Answer 1

分析：由方程兩個不相等的實數(shù)根，則△＞0，即△=16sin²α-4×3×2（1-cosα）＞0，再根據(jù)sin²α+cos²α=1，得到cosα得不等式，解不等式得到cosα的范圍，最后利用銳角三角函數(shù)的性質(zhì)確定α的取值范圍．

解答：解：∵關于x的方程3x²-4x•sinα+2（1-cosα）=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△＞0，即△=16sin²α-4×3×2（1-cosα）＞0，化簡為2sin²α+3cos-3＞0；
又∵sin²α+cos²α=1，
∴2cos²α-3cos+1＜0，即（2cosα-1）（cosα-1）＜0，
∴

1

2

＜cosα＜1，即cos60°＜cosα＜cos0°，
所以α的取值范圍是0°＜α＜60°．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)：sin²α+cos²α=1；余弦函數(shù)為減函數(shù)；還要記住特殊角的三角函數(shù)值．