Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線AD與⊙O相切于點A，點C在⊙O上，∠DAC＝∠ACD，直線DC與AB的延長線交于點E．AF⊥ED于點F，交⊙O于點G．

⑴ 求證：DE是⊙O的切線；
⑵ 已知⊙O的半徑是6cm，EC＝8cm， 求GF的長．

Answer 1

（1）證明：聯(lián)結(jié)OC．
∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD=90°，
∴∠OAC+∠DAC=90°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，
∴AD是⊙O的切線．
（2）GF=2.4cm

試題分析：⑴ 證明：聯(lián)結(jié)OC．
∵AD是⊙O的切線，∴∠OAD=90°，
∴∠OAC+∠DAC=90°．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠ACD，
∴∠OCA+∠ACD=90°，即∠OCD=90°，
∴AD是⊙O的切線．
⑵ 聯(lián)結(jié)BG，
∵OC=6cm，EC=8cm，
∴在Rt△CEO中，OE=10 cm．
∴AE="OE+OA=16" cm．
∵AF⊥ED，
∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．
∴Rt△AEF∽Rt△OEC．
∴＝，
∴AF==="9.6" cm．
∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴＝，
∴AG==="7.2" cm，
∴GF=AF－AG=9.6－7.2=2.4cm．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生能否運用性質(zhì)進行推理和計算，難度中等。