Question

如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（0＜t＜2）．根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？
（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y（cm²），直接寫(xiě)出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的移動(dòng)過(guò)程中，如果將△APQ沿其一邊所在直線翻折，翻折后的三角形與△APQ組成一個(gè)四邊形，那么是否存在某一時(shí)刻t，使組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理求出AB，再根據(jù)題意知：AP=5-t，AQ=2t，當(dāng)PQ∥BC，則△AQP∽△ACB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得t，當(dāng)PQ⊥BC，則△APQ∽△ACB，利用其對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得t．
（2）y=t²-3t+6．
（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，有3種情況，①當(dāng)沿AP翻折時(shí)，AQ=PQ，過(guò)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，則點(diǎn)D必為AP的中點(diǎn)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得；
②當(dāng)沿PQ翻折時(shí)利用2t=5-t可解得t；
③當(dāng)沿AQ翻折時(shí)，PQ=AP，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AC于H，則點(diǎn)H必為AQ的中點(diǎn)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB==5，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，
當(dāng)PQ∥BC，則△AQP∽△ACB，
∴=，
∴=，
t=，＜2，
當(dāng)PQ⊥AB，則△APQ∽△ACB，
∴=，
∴=，
∴t=，＜2，
∴當(dāng)t=或t=時(shí)，
以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴，
即，
解得：PD=3-t，
∴S_{四邊形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ=AC•BC-AQ•PD=×4×3-×2t×（3-t）=t²-3t+6，
∴y=t²-3t+6；

（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，
①當(dāng)沿AP翻折時(shí)，AQ=PQ，過(guò)Q作QD⊥AP于點(diǎn)D，則點(diǎn)D必為AP的中點(diǎn)，
∴Rt△ADQ∽R(shí)t△ACB，
∴=，
即=，解得t=，＜2，
②當(dāng)沿PQ翻折時(shí)，AQ=AP，2t=5-t，解得t=＜2
③當(dāng)沿AQ翻折時(shí)，PQ=AP，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AC于H，則點(diǎn)H必為AQ的中點(diǎn)，
∴Rt△AHP∽R(shí)t△ACB，
∴即，
解得：＞2（不合題意應(yīng)舍去）
綜上所述，當(dāng)時(shí)，所形成的四邊形為菱形．
點(diǎn)評(píng)：此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，有勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，翻轉(zhuǎn)變換等，綜合性較強(qiáng)，又涉及上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，給此題又增加了一定的難度，因此此題屬于難題．