Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4）．
（1）若點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線上異于C的點(diǎn)，且△OAP是直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若拋物線頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)M，探究：拋物線對(duì)稱軸上是否存在異于D的點(diǎn)Q，使△AQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可據(jù)此求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)O、A、C的坐標(biāo)可知：△OAC是直角三角形，且∠OCA=90°，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知C點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)也一定符合條件，可由此寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)拋物線的解析式可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸方程，即可確定D點(diǎn)的坐標(biāo)和Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)；設(shè)出Q點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后分別表示出AD、QD、QA的長(zhǎng)；根據(jù)①Q(mào)D=DA，②QD=QA，③AD=AQ；三種不同情況所得到的等量關(guān)系來(lái)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵B（2，4），
∴C（2，-4）；
設(shè)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax（x-10）
將C（2，-4）代入，
得a=

1

4

；
所以，拋物線解析式為y=

1

4

x2-

5

2

x；

（2）存在．P（8，-4）

（3）存在點(diǎn)Q使得△DQA為等腰三角形
由（1）拋物線解析式為y=

1

4

x2-

5

2

x2
可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（5，-

25

4

）
則|AD|=

5 41

4

，若|QA|=|DA|
則由對(duì)稱性知滿足條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，

25

4

），記為Q：（5，

25

4

）
若|QD|=|DA|
則結(jié)合圖形，可求得滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，

5 41 -25

4

），（5，-

5 41 +25

4

）
記為Q₂（5，

5 41 -25

4

），Q₃（5，-

5 41 +25

4

）；
若|QD|=|QA|
則設(shè)Q（5，y），由|y+

25

4

|=

y2+25

解得y=2-

25

8

，
所以滿足條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2-

25

8

），記為Q₄（5，2-

25

8

）（12分）
所以，滿足條件的點(diǎn)Q有Q₁（5，

25

4

），Q₂（5，

5 41 -25

4

），Q₃（5，-

5 41 +25

4

），Q₄（5，-

9

8

）四個(gè)點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線的對(duì)稱性、等腰三角形的判定等重要知識(shí)點(diǎn)，在等腰三角形腰和底不確定的情況下，一定要分類討論，以免漏解．