Question

【題目】已知△ABC為邊長為6的等邊三角形，D，E分別在邊BC，AC上，且CD=CE=x，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF，CF．

（1）求證：△AEF為等邊三角形；
（2）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（3）記△CEF的面積為S，
①求S與x的函數(shù)關系式；
②當S有最大值時，判斷CF與BC的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴△CDE為等邊三角形，

∴∠CED=60°，

∠AEF=60°，又AE=EF，

∴△AEF為等邊三角形

（2）證明：∵∠FAC=60°，

∴∠FAC=∠ACB=60°，

∴AF∥BC，

∵∠CED=∠CAB=60°，

∴AB∥BF，（）

∴四邊形ABDF為平行四邊形

（3）證明：①作AH⊥BC于H，

∵△ABC為邊長為6的等邊三角形，

∴AH=3 ，

∴S△CDF= ×CD×AH= x，

∵△CDE為等邊三角形，CD=x，

∴S△CDE= x2，

∴△CEF的面積S= x﹣ x2；

②CF⊥BC．

x=﹣ =3時，S最大，

∴CD=CE=3，

∵△CDE為等邊三角形，

∴DE=CD=CE=3，

∵E為AC的中點，

∴AE=CE=3

∴AE=EF=3

∴CE=DE=EF=3，

∴∠CDE=∠ECD，

∠ECF=∠EFC，

∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，

∴2∠ECD+2∠ECF=180°，

∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，

∴CF⊥BC．

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質得出∠ACB=60°，由CD=CE及EF=AE，根據(jù)對頂角相等和等邊三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，已征得結論；
（3）觀察圖形S=S△CDF-S△CDE，根據(jù)等邊三角形的性質可以分別求出△CDF，△CDE的面積，就可以計算出求S與x的函數(shù)關系式；根據(jù)二次函數(shù)的性質求出S的最大值時x的值，根據(jù)垂直的定義判斷即可。

【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a)，還要掌握平行四邊形的判定(兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)的相關知識才是答題的關鍵．