Question

已知以P（7，0）為圓心，25為半徑的⊙P，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，若在圓上有一點(diǎn)Q使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為

（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）

．

Answer 1

分析：此題需要分類討論．①當(dāng)BQ∥AP時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②當(dāng)AB∥PQ時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；③當(dāng)AQ∥BP時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：如圖，在⊙P中，P（7，0），AP=BP=25．
則易求A（-18，0），B（0，24）．
所以，直線AB的解析式為：y=

4

3

x+24．
直線BP的解析式為：y=-

24

7

x+24．
①當(dāng)BQ∥AP時(shí)，點(diǎn)Q位于第一象限．設(shè)Q（x，24），則（x-7）²+24²=25²，
解得，x=14，
所以Q₁（14，24）；

②當(dāng)AB∥PQ時(shí)，設(shè)PQ的直線為y=

4

3

x+b₂．
∵P（7，0），
∴0=

4

3

×7+b₂，
解得，b₂=-

28

3

，
∴直線PQ的解析式是：y=

4

3

x-

28

3

．
又∵點(diǎn)Q在圓P上，
∴

y= 4 3 x- 28 3 (x-7)2+y2=252

，
解得，

x=22 y=20

或

x=-8 y=-20

，即Q₂（22，20），Q₃（-8，-20）．

④當(dāng)AQ∥BP時(shí)，點(diǎn)Q位于第四象限，設(shè)直線AQ的解析式是y=-

24

7

x+b₁．
∵A（-18，0），
∴0=-

24

7

×（-18）+b₁，
解得，b₁=-

432

7

，
∴直線AQ的解析式為：y=-

24

7

x-

432

7

，則

y=- 24 7 x- 432 7 (x-7)2+y2=252

，
解得，

x=- 548 25 y=- 336 25

，即Q₄（-

548

25

，-

336

25

）；
綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別是：（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）．
故答案是：（14，24）、（-8，-20）、（22，20）、（-

548

25

，-

336

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二元一次方程組的解法等．解答該題時(shí)，要結(jié)合圖形，分類討論，以防漏解．