Question

【題目】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形，例如△ABC中，三邊分別為a、b、c，若滿足b2＝ac，則稱△ABC為比例三角形，其中b為比例中項(xiàng)．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；

（2）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．

①請直接寫出圖中的比例三角形；

②作AH⊥BD，當(dāng)∠ADC＝90°時，求的值；

（3）三邊長分別為a、b、c的三角形是比例三角形，且b為比例中項(xiàng)，已知拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以OB為直徑的⊙M經(jīng)過點(diǎn)A，記△OAB的面積為S1，⊙M的面積為S2，試問S1：S2的值是否為定值？若是請求出定值，若不是請求出S1：S2的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）AC＝；

（2）①△ADC是比例三角形；②；

（3）＝.

【解析】

（1）分三種情況討論，由比例三角形的定義可求解；

（2）①通過證明△ABC∽△DCA，可得，可得AD2＝ACCD，可得△ADC是比例三角形；

②由勾股定理可得AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BC2+CD2＝BD2，可得BD＝AC，即可求解；

（3）分別求出S1，S2，由勾股定理可求b的值，即可求解．

解：（1）∵△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，

∴若AB是比例中項(xiàng)，則AB2＝BC×AC，

∴AC＝，

若AC是比例中項(xiàng)，則AC2＝BC×AB，

∴AC＝，

若BC是比例中項(xiàng)，則BC2＝AC×AB，

∴AC＝

（2）①△ADC是比例三角形，

理由如下，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，∠ADB＝∠DBC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∵∠DAC＝∠ACB，∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴，且AD＝AB，

∴AD2＝ACCD，

∴△ADC是比例三角形；

②∵∠ADC＝90°＝∠BAC，AD∥BC，

∴∠ADC＝∠BCD＝90°，

∵AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BC2+CD2＝BD2，

∴2AC2＝BD2，

∴BD＝AC，

∵AB＝AD，AH⊥BD，

∴BH＝BD＝AC，

∴

（3）∵三邊長分別為a、b、c的三角形是比例三角形，且b為比例中項(xiàng)，

∴b2＝ac，a＞0，b＞0，c＞0，

∵已知拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)B，頂點(diǎn)為A，

∴B（0，c），點(diǎn)A（﹣，）

∴點(diǎn)A（﹣，c）

∵S1＝×c×＝，

S2＝π×（c）2＝，

∴＝＝＝＝，

∵以OB為直徑的⊙M經(jīng)過點(diǎn)A，

∴∠OAB＝90°，

∴OA2+OB2＝OC2，

∴（）2+（c）2+（）2+（c﹣c）2＝c2，

∴a2c2＝b2，

∴（b2﹣1）b2＝0，

∴b＝，

∴＝