Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D₁是斜邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D₁作D₁E₁⊥AC于點(diǎn)E₁，連接BE₁交CD₁于點(diǎn)D₂；過點(diǎn)D₂作D₂E₂⊥AC于點(diǎn)E₂，連接BE₂交CD₁于點(diǎn)D₃；過點(diǎn)D₃作D₃E₃⊥AC于點(diǎn)E₃，如此繼續(xù)，可以依次得到點(diǎn)D₄、D₅、…、D_n，分別記△BD₁E₁、△BD₂E₂、△BD₃E₃、…、△BD_nE_n的面積為S₁、S₂、S₃、…S_n．設(shè)△ABC的面積是1，則S₁=

 

，S_n=

 

（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)．再利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=

1

3

BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答：解：易知D₁E₁∥BC，∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
∴S₁=S_△D1E1A=

1

4

S_△ABC，
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
又D₁E₁為三角形的中位線，∴D₁E₁∥BC，
∴△D₂D₁E₁∽△CD₂B，且相似比為1：2，
即

E1D2

BD2

=

1

2

，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∴D₃E₃=

1

4

BC，CE₃=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC．
故答案為：

1

4

，

1

(n+1) 2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)和三角形的面積公式，解決本題的關(guān)鍵是據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個(gè)三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．