Question

（2012•鹽城）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E為BC上一點，∠BDE=∠DBC．
（1）求證：DE=EC；
（2）若AD=

1

2

BC，試判斷四邊形ABED的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角對等邊，即可證得DE=EC；
（2）易證得AD=BE，AD∥BC，即可得四邊形ABED是平行四邊形，又由BE=DE，即可得四邊形ABED是菱形．

解答：（1）證明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，
∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，
又∵∠C=90°-∠DBC，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC；

（2）若AD=

1

2

BC，則四邊形ABED是菱形．
證明：∵∠BDE=∠DBC．
∴BE=DE，
∵DE=EC，
∴BE=EC=

1

2

BC，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∵BE=DE，
∴?ABED是菱形．

點評：此題考查了梯形的性質、等腰三角形的判定與性質以及菱形的判定．此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結合思想的應用．