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        1. 【題目】我們知道,在等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形中,三邊之間的比例關(guān)系分別如圖所示:

          試借助上述結(jié)論,構(gòu)造圖形,解決下面的問題:

          如圖(1),已知∠ACD=90°,MN是過點(diǎn)A的直線,AC=DC,DBMN于點(diǎn)B,

          (1) 求證: BD+AB=CB;

          (2) 當(dāng)MNA旋轉(zhuǎn)到如圖(2)和圖(3)兩個(gè)位置時(shí),BDAB、CB滿足什么樣關(guān)系式,請(qǐng)寫出你的猜想,并對(duì)圖(3)給予證明;

          (3) MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)∠BCD=30°BD=時(shí),則CD=   ,CB=   

          【答案】(1)證明見解析;(2) ; ;(3)2; .

          【解析】試題分析:(1過點(diǎn)CCECB于點(diǎn)C,與MN交于點(diǎn)E,證明ACE≌△DCB,則ECB為等腰直角三角形,據(jù)此即可得到BE=CB,根據(jù)BE=AE+AB即可證得;

          2)過點(diǎn)CCECB于點(diǎn)C,與MN交于點(diǎn)E,證明ACE≌△DCB,則ECB為等腰直角三角形,據(jù)此即可得到BE=CB,根據(jù)BE=AB-AE即可證得;

          3)過點(diǎn)BBHCD于點(diǎn)H,證明BDH是等腰直角三角形,求得DH的長(zhǎng),在直角BCH中,利用直角三角形中30°的銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,即可求得.

          試題解析:(1)過點(diǎn)CCECB于點(diǎn)C,與MN交于點(diǎn)E,

          ∵∠ACB+BCD=90°,ACB+ACE=90°

          ∴∠BCD=ACE.

          ∵四邊形ACDB內(nèi)角和為360°,

          ∴∠BDC+CAB=180°.

          ∵∠EAC+CAB=180°,

          ∴∠EAC=BDC.

          又∵AC=DC,

          ACEDCB,

          AE=DB,CE=CB,

          ECB為等腰直角三角形,

          BE=CB.

          又∵BE=AE+AB,

          BE=BD+AB,

          BD+AB=CB;

          (2)如圖(2) ABBD=CB.理由如下:

          過點(diǎn)CCECB于點(diǎn)C,與MN交于點(diǎn)E,

          ∵∠ACD=90°,

          ∴∠ACE=90°DCE,BCD=90°ECD,

          ∴∠BCD=ACE.

          DBMN,

          ∴∠CAE=90°AFC,D=90°BFD,

          ∵∠AFC=BFD

          ∴∠CAE=D,

          ACEDCB,

          ACEDCB(ASA),

          AE=DB,CE=CB,

          ECB為等腰直角三角形,

          BE=CB.

          又∵BE=ABAE,

          BE=ABBD,

          ABBD=CB.

          如圖(3):BDAB=CB.理由如下:

          過點(diǎn)CCECB于點(diǎn)C,與MN交于點(diǎn)E,

          ∵∠ACD=90°,

          ∴∠ACE=90°+ACB,BCD=90°+ACB,

          ∴∠BCD=ACE.

          DBMN,

          ∴∠CAE=90°AFB,D=90°CFD

          ∵∠AFB=CFD,

          ∴∠CAE=D,

          又∵AC=DC

          ACEDCB,

          AE=DB,CE=CB,

          ECB為等腰直角三角形,

          BE=CB.

          又∵BE=AEAB,

          BE=BDAB

          BDAB=CB.

          (3)MN在繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中,這個(gè)的意思并沒有指明是哪種情況,

          ∴綜合了第一個(gè)圖和第二個(gè)圖兩種情況,

          若是第1個(gè)圖:

          (1)得:ACEDCB,CE=CB,

          ECB為等腰直角三角形,

          ∴∠AEC=45°=CBD,

          DDHCB.DHB為等腰直角三角形。

          BD=BH,

          BH=DH=1.

          直角CDH,DCH=30°,

          CD=2DH=2,CH=.

          CB=+1;

          若是第二個(gè)圖:過DDHCBCB延長(zhǎng)線于H.

          解法類似上面,CD=2,得出CB=1;

          故答案為:2, +11.

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          (2)求AOB的面積;

          (3)根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍.

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          (2) 如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P,請(qǐng)用含的式子表示四邊形ABOP的面積;

          (3) (2)的條件下,是否存在點(diǎn)P,使四邊形ABOP的面積與ABC的面積相等?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.

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