Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=1，對角線AC , BD相交于點O，過點O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點E和點F，連接CE,AF．

(1)求證：四邊形AECF是菱形．

(2)當點分別在邊和上時，設(shè)，菱形的面積是，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

(3)當是等腰三角形時，求的長度．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或.

【解析】

（1）由，推出EO=OF，又，推出四邊形EBFD是平行四邊形，再由即可證明四邊形是菱形；
（2）由勾股定理表示出AC、AO的值，由cos∠DAC=，求出AE值，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）分在線段延長線上時和在線段上時兩種情形分別討論求解即可；

(1)四邊形是矩形，

, ， ，

在和中，

， ， 又，

四邊形是平行四邊形，且，

∴四邊形是菱形；

(2)由題意得：，，

，

，

，

，

(3)①當在線段延長線上時，

為等腰三角形，

.

，

又，

，

解得；

②當在線段上時，

為等腰三角形，

，

，

，

在中,，

綜上所述：或.