Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=1，對(duì)角線AC , BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交射線AD與射線CB于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接CE,AF．

(1)求證：四邊形AECF是菱形．

(2)當(dāng)點(diǎn)分別在邊和上時(shí)，設(shè)，菱形的面積是，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)；(3)或.

【解析】

（1）由，推出EO=OF，又，推出四邊形EBFD是平行四邊形，再由即可證明四邊形是菱形；
（2）由勾股定理表示出AC、AO的值，由cos∠DAC=，求出AE值，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（3）分在線段延長(zhǎng)線上時(shí)和在線段上時(shí)兩種情形分別討論求解即可；

(1)四邊形是矩形，

, ， ，

在和中，

， ， 又，

四邊形是平行四邊形，且，

∴四邊形是菱形；

(2)由題意得：，，

，

，

，

，

(3)①當(dāng)在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，

為等腰三角形，

.

，

又，

，

解得；

②當(dāng)在線段上時(shí)，

為等腰三角形，

，

，

，

在中,，

綜上所述：或.