Question

如圖所示，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA：PB：PC=3：4：5，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使BC與AB重合，P點(diǎn)落在P′點(diǎn)，連接PP′．
（1）畫圖形并判斷△APP′的形狀；
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）如圖所示：
∵將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使BC與AB重合，P點(diǎn)落在P′點(diǎn)，
∴△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了60°，BP=BP′，PC=AP′，
∴△BPP′是等邊三角形，
∴PP′=BP，
∵PA：PB：PC=3：4：5，
∴PA：P′P：P′A=3：4：5，
∴△APP′是直角三角形；

（2）∵△APP′是直角三角形，且AP′是斜邊，
△BPP′是等邊三角形，
∴∠APP′=90°，∠P′PB=60°，
∴∠APB的度數(shù)為：∠APP′+∠P′PB=90°+60°=150°．
分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BPP′是等邊三角形，進(jìn)而得出PP′=BP，即可得出PA：P′P：P′A=3：4：5，則問(wèn)題得證；
（2）利用（1）中結(jié)論得出∠APP′=90°，∠P′PB=60°，可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形判定和性質(zhì)以及直角三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出PP′=BP是解題關(guān)鍵．