Question

問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為

5

、

10

、

13

，求這個(gè)三角形的面積．
小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．
（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上

 

；
思維拓展：
（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為

5

a、2

2

a、

17

a（a＞0），請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積；
探索創(chuàng)新：
（3）若△ABC三邊的長分別為

m2+16n2

、

9m2+4n2

、2

m2+n2

（m＞0，n＞0，且m≠n），試運(yùn)用構(gòu)圖法求出這三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）△ABC的面積=3×3-1×2÷2-1×3÷2-2×3÷2=3.5；
（2）

5

a是直角邊長為a，2a的直角三角形的斜邊；2

2

a是直角邊長為2a，2a的直角三角形的斜邊；

17

a是直角邊長為a，4a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積；
（3）結(jié)合（1），（2）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．

解答：解：（1）

7

2

；（2分）

（2）如圖：

S_△ABC=2a×4a-

1

2

a×2a-

1

2

×2a×2a-

1

2

a×4a=3a²；（6分）

（3）解：構(gòu)造△ABC所示，（未在試卷上畫出圖形不扣分）

S_△ABC=3m×4n-

1

2

×m×4n-

1

2

×3m×2n-

1

2

×2m×2n   （9分）
=5mn．   （10分）

點(diǎn)評：本題是開放性的探索問題，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．