Question

如圖，直線y=﹣x+分別交x軸、y軸于A、B兩點，經(jīng)過點A的直線m⊥x軸，直線l經(jīng)過原點O交線段AB于點C，過點C作OC的垂線，與直線m相交于點P，現(xiàn)將直線l繞O點旋轉(zhuǎn)，使交點C在線段AB上由點B向點A方向運動．

（1）填空：A（　　　　　　，　　　　　　）、B（　　　　　　，　　　　　　）

（2）直線DE過點C平行于x軸分別交y軸與直線m于D、E兩點，求證：△ODC≌△CEP；

（3）若點C的運動速度為每秒單位，運動時間是t秒，設(shè)點P的坐標為（，a）

①試寫出a關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式和變量t的取值范圍；

②當(dāng)t為何值時，△PAC為等腰三角形并求出點P的坐標．

　

Answer 1

【考點】一次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）把x=0，y=0代入y=﹣x+解答即可；

（2）DE∥x軸，m⊥x軸，根據(jù)ASA證△ODC≌△CEP即可；

（3）①根據(jù)Rt△BDC中的勾股定理進行解答即可；

②根據(jù)等腰三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)進行解答．

【解答】解：（1）把x=0，y=0代入y=﹣x+，可得：點A（，0），B（0，）；

故答案為：A（，0），B（0，）；

（2）∵DE∥x軸，m⊥x軸，

∴m⊥DE，DE⊥y軸，

∴∠ODE=∠CEP=90°，

∵OC⊥CP，

∴∠OCP=90°，

∴∠DCO+∠ECP=180°﹣∠OCP=90°，

∴∠DCO+∠DOC=90°，

∴∠ECP=∠DOC，

∵，

∴∠ABO=∠BAO，

∵DE∥x軸，

∴∠BCD=∠BAO，

∴∠ABO=∠BCD，

∴BD=CD，AE∥y軸，由平移性質(zhì)得：OA=DE，

∴OB=DE，OB﹣BD=DE﹣CD，

∴OD=CE，

在△ODC與△CEP中，

，

∴△ODC≌△CEP（ASA）；

（3）①∵t，BD=CD，

在Rt△BDC中，BD²+CD²=BC²

∴BD=CD=t，OA=OB=，DO=BO﹣BD=﹣t，EA=DO=﹣t，﹣t，EP=CD=t，AP=EA﹣EP=﹣2t，

在Rt△AOB中，AO²+BO²=AB²

∴OA=2（0≤t≤2），

②當(dāng)t=0時，△PAC是等腰直角三角形

∴即點坐標是：P（，），PA=AC，則t

解得t=1或t=﹣1（舍去）

∴當(dāng)t=1時，△PAC是等腰三角形

即點坐標是：P（，﹣2），

∴當(dāng)t=0或1時，△PAC為等腰三角形，

點P的坐標為：P（，）或P（，﹣2）．

【點評】主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運用函數(shù)的性質(zhì)和點的意義表示出相應(yīng)的線段的長度，再結(jié)合三角形全等和等腰三角形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請注意體會．