Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M

交OC于D、E，連結(jié)AD、BD、BE。

（1）在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形。

_____________________,______________________

（2）直角梯形OABC中，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸正半軸上建立直角坐標(biāo)系（如圖2），

若拋物線y=ax²-2ax-3a（a<0）經(jīng)過點(diǎn)A、B、D，且B為拋物線的頂點(diǎn)。

①寫出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）___________。

②求拋物線的解析式。

③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P：過點(diǎn)P做PN⊥x軸于N，

使得⊿PAN與⊿OAD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

 

圖1                               圖2

Answer 1

（1）△OAD∽△CDB. △ADB∽△ECB

（2）①（1，-4a）

②∵△OAD∽△CDB

∴

∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0）

又OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,

∴   ∴　　∵　　∴

故拋物線的解析式為：

③存在，

設(shè)P（x,-x²+2x+3）

∵△PAN與△OAD相似,且△OAD為等腰三角形         ∴PN=AN

當(dāng)x<0（x< -1）時，-x+3=-(-x²+2x+3),x₁=-2,x₂=3(舍去)，∴P（-2，-5）

當(dāng)x>0（x>3）時，x-3= -(-x²+2x+3), x₁=0,x₂=3(都不合題意舍去)

符合條件的點(diǎn)P為（-2，-5）