Question

【題目】（1）①如圖1，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作出的內(nèi)接正三角形（按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）.

②若的內(nèi)接正三角形邊長為6，求的半徑；

（2）如圖2，的半徑就是（1）中所求半徑的值.點(diǎn)在上，是的切線，點(diǎn)在射線上，且，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線方向移動，點(diǎn)是上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），是的切線.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為（秒），當(dāng)為何值時，是直角三角形，請你求出滿足條件的所有值.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②；（2）.

【解析】

（1）①作半徑的垂直平分線與圓交于，再取，則即為正三角形；

②連接，設(shè)半徑為，利用勾股定理即可求得答案；

（2）分當(dāng)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)，時四種情況討論，當(dāng)時，在Rt中利用勾股定理求解即可；當(dāng)且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)或右側(cè)時，構(gòu)造矩形和直角三角形，利用解直角三角形即可求解；當(dāng)時，構(gòu)造正方形和直角三角形即可求解.

（1）①等邊如圖所示；

②連接，如圖，設(shè)半徑為，

由作圖知：，⊥，

∴，

在中，

，即，

解得：；

（2）當(dāng)時，連接，如圖，

∵QG是的切線，

∴，

∵，

∴三點(diǎn)共線，

又∵DF是的切線，

∴，

設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為（秒），

∴，

在中，，，

∴，

在Rt中，，，，

∴，即，

解得：；

當(dāng)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，連接，過點(diǎn)G作GM⊥OD于M，如圖，

∵是的切線，

∴，

∴四邊形DFGM為矩形，

∴，

在Rt中，，，

∴，

∵，

∴，

∵QG是的切線，四邊形DFGM為矩形，

∴，

∴

在Rt中，，，

∴即

解得：；

當(dāng)時，連接，如圖，

∵是的切線，QG是的切線，

∴，，

∴四邊形ODQG為正方形，

∴，

∴；

當(dāng)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時，連接，過點(diǎn)O作ON⊥于N，如圖，

∵是的切線，

∴，

∴四邊形DFNO為矩形，

∴，

在Rt中，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵QG是的切線，

，

∴，

∴，

∴，

∴；

綜上：當(dāng)、、、時，是直角三角形.