Question

已知AB是半圓O的直徑，AP為過點(diǎn)A的半圓的切線，在

AB

上任取一點(diǎn)C（點(diǎn)C與A，B不重合），過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，E是CD的中點(diǎn)，連接BE并延長交AP于點(diǎn)F，連接CF．
（1）當(dāng)點(diǎn)C是

AB

的中點(diǎn)時（如圖1），求證：直線CF是半圓O的切線；
（2）當(dāng)點(diǎn)C不是

AB

的中點(diǎn)時（如圖2），試猜想直線CF與半圓O的位置關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）通過證明△FCE≌△BDE證得FC⊥OC即可判定切線；
（2）連接AC，OC，BC并延長交AP于點(diǎn)G，證得∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°即可．

解答：（1）證明：∵C是

AB

的中點(diǎn)，且CD⊥AB．
∴D與圓心O重合，即OC⊥AB．
又E是CD的中點(diǎn)，∴OE=EC
又∵AP是⊙O的切線，∴AP⊥AB，∴OC∥AP．
由于O是AB的中點(diǎn)，
∴E是BF的中點(diǎn)，即BE=EF．
在△FCE和△BDE中，OE=CE，BE=FE，∠BED=∠FEC．
∴△FCE≌△BDE，
∴∠FCE=∠BDE=90°，即FC⊥OC，
∴CF是半圓O的切線．

（2）猜想：直線CF是半圓O的切線．
證明如下：連接AC，OC，BC并延長交AP于點(diǎn)G．
則AC⊥GB，∠OAC=∠OCA．
∵CD⊥AB，∴CD∥AP，
∴

ED

FA

=

BE

BF

=

CE

FG

．
又∵CE=ED，
∴AF=FG．
又∵∠ACG=90°，
∴FC=FA，
∴∠FCA=∠FAC．
∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠FAC+∠OAC=90°，
即OC⊥CF．
∴CF是半圓O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．