Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-

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2

x+b（b＞0）分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，以O(shè)A，OB為邊作矩形OACB，D為BC的中點(diǎn)．以M（4，0），N（8，0）為斜邊端點(diǎn)作等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限，設(shè)矩形OACB與△PMN重疊部分的面積為S．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)b值由小到大變化時(shí)，求S與b的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若在直線y=-

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2

x+b（b＞0）上存在點(diǎn)Q，使∠OQM等于90°，請直接寫出b的取值范圍．
（4）在b值的變化過程中，若△PCD為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的b值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐訫（4，0），N（8，0）為斜邊端點(diǎn)作的等腰直角三角形PMN，點(diǎn)P在第一象限，所以可作PK⊥MN于K，則PK=KM=

1

2

NM=2，進(jìn)而可求KO=6，所以P（6，2）；
（2）需分情況討論：當(dāng)0＜b≤2時(shí)，S=0；當(dāng)2＜b≤3時(shí)，重合部分是一個(gè)等腰直角三角形，可設(shè)AC交PM于H，AM=HA=2b-4，所以S=

1

2

（2b-4）²；當(dāng)3＜b＜4時(shí)，重合部分是一個(gè)四邊形，因此可設(shè)AC交PN于H，四邊形的面積=三角形PMN的面積-三角形HAN的面積，因?yàn)镹A=HA=8-2b，所以S=-2（4-b）²+4，當(dāng)b≥4時(shí)，重合部分就是直角三角形PMN，所以S=4．
（3）因?yàn)橹本�y=-

1

2

x+b（b＞0）上存在點(diǎn)Q，使∠OQM等于90°，利用90°的圓周角對的弦是直徑，所以以O(shè)M為直徑作圓，當(dāng)直線y=-

1

2

x+b（b＞0）與此圓相切時(shí)，求得的就是b的最大值，而此時(shí)b=

5

+1；
（4）因?yàn)椤鱌CD為等腰三角形，所以需分情況討論，當(dāng)PC=PD時(shí)，b=4．當(dāng)PC=CD時(shí)，b₁=2（舍），b₂=5．當(dāng)PD=CD時(shí)，b=8±2

6

．

解答：解：（1）作PK⊥MN于K，則PK=KM=

1

2

NM=2，
∴KO=6，
∴P（6，2）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)A落在線段OM上（可與點(diǎn)M重合）時(shí)，如圖（一），此時(shí)0＜b≤2，S=0；
②當(dāng)點(diǎn)A落在線段AK上（可與點(diǎn)K重合）時(shí)，如圖（二），此時(shí)2＜b≤3，設(shè)AC交PM于H，MA=AH=2b-4，
∴S=

1

2

（2b-4）²=2b²-8b+8，


③當(dāng)點(diǎn)A落在線段KN上（可與點(diǎn)N重合）時(shí)，如圖（三），此時(shí)3＜b≤4，設(shè)AC交PN于H，AN=AH=8-2b，
∴S=S_△PMN-S_△ANH=4-2（4-b）²=-2b²+16b-28，

④當(dāng)點(diǎn)A落在線段MN的延長線上時(shí)，b＞4，如圖（四），S=4；


（3）以O(shè)M為直徑作圓，當(dāng)直線y=-

1

2

x+b（b＞0）與圓相切時(shí)，b=

5

+1，如圖（五）；
當(dāng)b≥4時(shí)，重合部分是△PMN，S=4
設(shè)Q（x，b-

1

2

x），因?yàn)椤螼QM=90°，O（0，0），M（4，0）所以O(shè)Q²+QM²=OM²，
即[x²+（b-

1

2

x）²]+[（x-4）²+（b-

1

2

x）²]=4²，
整理得

5

2

x²-（2b+8）x+2b²=0，

5

4

x²-（b+4）x+b²=0，
根據(jù)題意這個(gè)方程必須有解，也就是判別式△≥0，即（b+4）²-5b²≥0，-b²+2b+4≥0，b²-2b-4≤0，可以解得 1-

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≤b≤1+

5

，由于b＞0，所以0＜b≤1+

5

．

故0＜b≤

5

+1；

（4）b的值為4，5，8±2

6

．
∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（2b，b），（b，b）
當(dāng)PC=PD時(shí)，b=4；
當(dāng)PC=CD時(shí)，b₁=2（P、C、D三點(diǎn)共線，舍去），b₂=5；
當(dāng)PD=CD時(shí)，b=8±2

6

．

點(diǎn)評：本題是一道綜合性極強(qiáng)的題目，解決這類問題常用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、方程和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．