Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線交AC于D，則下列結(jié)論：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分線；③圖中共有3個(gè)等腰三角形；④AD²=CD•AC，其中正確的有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠C；分別得出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度數(shù)即可判斷②；利用兩角法可確定等腰三角形的個(gè)數(shù)；證明△ABC∽△BDC可判斷④．

解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°；故①正確；

∵DM是AB的中垂線，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=36°，
∴BD是∠ABC的平分線；故②正確；
等腰三角形有△ABC、△BDC、△DAB，共3個(gè)，故③正確；
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BD

AB

=

CD

BC

，即BD×BC=CD×AB，
又∵BD=BC=AD，AB=AC，
∴AD²=CD•AC．故④正確；
綜上可得①②③④正確，共4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握各性質(zhì)定理的內(nèi)容，注意已經(jīng)證明的結(jié)論在后面的證明過程可以直接使用．