Question

如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一個動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段BC方向運動，過點P作PQ⊥BC，交折線段BA-AD于點Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，點N在射線BC上，當Q點到達D點時，運動結(jié)束．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）當正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點D時，求運動時間t的值；
（2）在整個運動過程中，設正方形PQMN與△BCD的重合部分面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式和相應的自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當點Q在線段AD上運動時，線段PQ與對角線BD交于點E，將△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，連接PF．是否存在這樣的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，可以得出四邊形AGHD為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)及相關條件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出結(jié)論t的值；
（2）運用求分段函數(shù)的方法，分四種情況，當0＜t≤3，當3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8時，運用梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以求出S的值；
（3）先由條件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-

1

2

t，分為三種情況：EF=EP時可以求出t值，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，可以求出t值，當PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，可以求出t值．

解答：解：（1）如圖2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別為G、H，
∴四邊形AGHD為矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=

1

2

（BC-AD）=3，AG=4，
∴當正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點D時，點M與點D重合，此時MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒時，正方形PQMN的邊MN恰好經(jīng)過點D；

（2）如圖1，當0＜t≤3時，BP=t，
∵tan∠DBC=

1

2

，tan∠C=tan∠ABC=

4

3

，
∴GP=

1

2

t，PQ=

4

3

t，BN=t+

4

3

t=

7

3

t，
∴NR=

7

6

t，
∴S=

( 1 2 t+ 7 6 t) 4 3 t

2

=

10

9

t2；
如圖3，當3＜t≤4時，BP=t，
∴GP=

1

2

t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=

1

2

t+2，
∴S=

( 1 2 t+ 1 2 t+2)×4

2

=2t+4；
如圖4，當4＜t≤7時，BP=t，
∴GP=

1

2

t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=

28-4t

3

，
∴S=

( 1 2 t+4)(8-t)

2

+

(4+ 28-4t 3 )(t-4)

2

=-

11

12

t2+

28

3

t-

22

3

；
如圖5，當7＜t≤8時，BP=t，
∴GP=

1

2

t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=

( 1 2 t+4)(8-t)

2

+

3×4

2

=-

1

4

t²+22；
∴S=

10 9 t2(0＜t≤3) 2t+4(3＜t≤4) - 11 12 t2+ 28 3 t- 22 3 (4＜t≤7)  - 1 4 t2+22(7＜t≤8)

；

（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=

3

5

，
由（1）可知EP=

1

2

BP=

1

2

t，
則EF=EQ=PQ-EP=4-

1

2

t，
①如圖6，當EF=EP時，4-

1

2

t=

1

2

t，
∴t=4；
②如圖7，當FE=FP時，作FR⊥EP，垂足為R，
∴ER=

1

2

EP=

3

5

EF，
∴

1

2

•

1

2

t=

3

5

(4-

1

2

t)，
∴t=

48

11

；
③如圖8，當PE=PF時，作PS⊥EF，垂足為S，
∵ES=

1

2

EF=

3

5

PE，
∴

1

2

（4-

1

2

t）=

3

5

•

1

2

t，
∴t=

40

11

．
∴當t=4、

48

11

或

40

11

時，△PEF是等腰三角形．

點評：本題是一道相似形綜合試題，考查了動點問題的運用，等腰直角梯形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，分段函數(shù)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用．解答本題時求分段函數(shù)時靈活運用梯形的面積是關鍵．在第三問運用等腰三角形的性質(zhì)解答是關鍵．