Question

已知關于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）當m為何整數時，原方程的根也是整數．

Answer 1

（1）證明：△=（m+3）²-4（m+1）=m²+6m+9-4m-4=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，
∴（m+1）²+4＞0，
則無論m取何實數時，原方程總有兩個不相等的實數根；
（2）解：關于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0，
利用公式法解得：x=，
要使原方程的根是整數，必須使得（m+1）²+4是完全平方數，
設（m+1）²+4=a²，變形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，
∵a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，
可得或，
解得：或，
將m=-1代入x=，得x₁=-2，x₂=0符合題意，
∴當m=-1時，原方程的根是整數．
分析：（1）表示出根的判別式，配方后得到根的判別式大于0，進而確定出方程總有兩個不相等的實數根；
（2）由（1）得到方程有兩個不相等的實數根，利用求根公式表示出解，要使原方程的根是整數，必須使得（m+1）²+4是完全平方數，設（m+1）²+4=a²，變形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，由a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，列出方程組，求出方程組的解得到a與m的值，代入解中檢驗即可得到滿足題意m的值．
點評：此題考查了根的判別式，以及求根公式，根的判別式的值大于0，方程有兩個不相等的實數根；根的判別式的值等于0，方程有兩個相等的實數根；根的判別式的值小于0，方程沒有實數根．