Question

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D在BC上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB交DE于點(diǎn)E，DE交AB于F．
（1）求證：AD=DE；
（2）若BD=2CD，求證：AF=5BF．

Answer 1

分析：（1）過(guò)D作DN∥AB交AC于N點(diǎn)，根據(jù)∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，求證△AND≌△DBE即可；
（2）過(guò)E作EM∥BC交AB于M點(diǎn)，求證△BME為等腰Rt△，然后設(shè)CD=a，求證△MEF≌△BDF即可．

解答：證明：（1）過(guò)D作DN∥AB交AC于N點(diǎn)，
∵∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠EDB，又∠AND=∠DBE=135°，AN=BD，
∴△AND≌△DBE，
∴DA=DE；

（2）過(guò)E作EM∥BC交AB于M點(diǎn)，則∠BME=∠MBD=45°，
∴△BME為等腰Rt△，設(shè)CD=a，則AC=BC=3a，AB=3

2

a，BE=

2

a，ME=2a，
∴△MEF≌△BDF，
∴MF=BF=

2 a

2

，AF=

5 2 a

2

，AF=5BF．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的理解和掌握，此題綜合性較強(qiáng)，有一定的拔高難度，屬于中檔題．