Question

如圖，已知，以為直徑，為圓心的半圓交于點，點為弧CF的中點，連接交于點，為△ABC的角平分線，且，垂足為點.
【小題1】求證：是半圓的切線；
【小題2】若，，求的長.

Answer 1

【小題1】證明：連接EC，
∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4∴∠4＝∠5＝∠3，
又∵E為弧CF中點，∴∠6＝∠7，
∵BC是直徑，∴∠E＝90°，∴∠5＋∠6＝90°，
又∵∠AHM＝∠E＝90°，∴AD∥CE，
∴∠2＝∠6＝∠1，∴∠3＋∠7＝90°，                 
又∵BC是直徑，∴AB是半圓O的切線； （5分）
【小題2】解析:
解答：
（2）∵，。
由（1）知，，∴.
在中，于，平分，
∴，∴.    （7分）
由∽，得.
∴，
∴