Question

如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8），D是OC上一點(diǎn)，且CD：OD=3：5，連接AD，過D點(diǎn)作DE⊥AD交OB于E，過E作EF∥AD，交AB于F
（1）求經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）求EF的長；
（3）在DE所在的直線上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥PE？若存在，則這樣的點(diǎn)P有幾個？并說明理由；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8），則CD=AB=8，再根據(jù)CD：OD=3：5，即可求得OD的長．得到D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）易證△ACD∽△EBF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
（3）根據(jù)已知條件知點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，所以符合條件的點(diǎn)P只有一個．

解答：解：（1）∵A點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，8），
∴CD=AB=8
又∵CD：OD=3：5，
∴OD=5，即D得坐標(biāo)是（0，5）
設(shè)經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線解析式是y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0）．
根據(jù)題意得：

b=5 8=4k+b

，
解得

b=5 k= 3 4

．
所以經(jīng)過A、D兩點(diǎn)的直線解析式為：y=

3

4

x+5；

（2）∵∠ACD=90°，∠ADE=90°，
∴∠CAD+∠ADC=∠ADC+∠ODE=90°，
∴∠CAD=∠ODE．
又∵∠ACD=∠DOE=90°，
∴△ACD∽△DOE，
∴

CD

OE

=

AC

OD

，
∵AC=4，CD=3，OD=5，
∴OE=

CD•OD

AC

=

3×5

4

=

15

4

∴BE=OB-OE=4-

15

4

=

1

4

．
同理△ACD∽△EBF
∴

AD

EF

=

AC

EB

，
在直角三角形ACD中，由勾股定理知AD=5，
∴EF=

AD•EB

AC

=

5× 1 4

4

=

5

16

，即EF=

5

16

；

（3）存在．滿足題設(shè)的點(diǎn)P有1個．理由如下：
∵點(diǎn)P在直線DE上，AP⊥DE，且AD⊥DE，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，
∴滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P只有1個．

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)綜合題．涉及到的知識點(diǎn)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等．解答（3）題時，需要知道”在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線有且只有一條“．